為什麼麥克斯韋-玻爾茲曼速度分布在v=0時,兩種表述不一樣?

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第一個式子是速度空間概率分布函數，第二個是速率分布函數。我一開始看到速度分布的最概然速度為0，可是速率分布函數的最概然速率卻是，覺得很奇怪。其實在推導的過程中是先有速度分布函數然後再用球坐標的重積分計算出的速率分布公式。麥克斯韋速度分布函數推導出的結果就是指數形式，所以在速度空間中速度為零的分子概率最高，可是換成速率就不然了。雖然其他速率為V大於0的分子速度概率都較小，可是以V為速率的分子卻是分布在一個球面上的。原因是熱運動的各向同性使得速度分布函數與球坐標中的和無關。然後再看速率分布函數是一個二次函數與指數函數相乘的形式。隨著速率的增加，球面積越大（不嚴密的說就是更多的不同的速度值具有同樣的速率，平方增長），而每一個具有此速率的速度的分子的概率都成指數減小。於是就有了最概然速率。

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第一種寫法積分是三個談量。vx,vy,vz

用球坐標後，變成dtheta dphi dv

將前兩個角度積分掉得4 pi v^2(就是球面面積）

只留下了一個對速度大小v的積分。

成了第二種情況

第二種寫法積分就是速度。

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一個是speed distribution, 一個是velocity distribution.

第一個是Velocity distribution: The probability of finding a particle with velocity in the infinitesimal element [dvx, dvy, dvz] about velocity v = [vx, vy, vz] is: P(Velocity)dvx dvy dvz.

第二個是Speed distribution: probability, per unit speed, of finding the particle with a speed near v.

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