從公式角度解釋傅立葉級數是如何拓展成傅立葉變換的?

01-16

不需要直觀的解釋,比如說級數是求和啊，變換是積分啊，諸如此類。重要的是公式推導;我想知道的是傅立葉級數是如何」自然「地過渡到傅立葉變換的!

題主的問題從概念上是有問題的，不是「從傅里葉級數到傅里葉變換」而是「從傅里葉係數到傅里葉變換」，如何從傅里葉係數到傅里葉變換的過程請看我在知乎上的相關問題的回答。並且注意我使用的三角函數形式的傅里葉級數的形式，只有這樣才能一步步了解從傅里葉係數到傅里葉變換的過程，才知道傅里葉變換的物理意義。

本來承諾的推導，結果一下子搞忘了，謝謝題主的問題和大家的提醒，以下是我個人的嘗試推導：

首先聲明，這個推導存在一些數學上不嚴密的地方。我的目的只是想用較小的篇幅，從0開始推導FS和FT的基本體系。娛樂和興趣為主，不要和我較真，我不是數學系的...

推導Fourier Series（FS）
對於周期為T的信號x(t)：
(1)
1. $c_{n}$ 被稱為FS。
2. 我們可以把 $e^{jfrac{2pi nt}{T}}$ 理解成一組basis（關於他們為什麼是basis的證明略去），用於表達任何周期為T的信號。
現在我們的目標是推導 $c_{n}$ ：
在(1)兩邊乘以，這裡m是任何任意整數。得到：
這裡的就是第m個FS。同時對兩邊積分，得到：
同時除以T得到我們的答案：

（這以上是FS的推導，好像和題主的問題無關。不感興趣的看官可以直接從(2)開始）
定義Fourier Transform（FT）。
首先在FS裡面，我們只考慮了周期信號，Basis的頻率是離散的為 $0, pm frac{2pi}{T}, pm frac{4pi}{T}, pm frac{6pi}{T},....$ 。當信號不是周期的時候，可以理解為 $T ightarrow infty$ 。以下是從FS推導FT的簡單證明：
第一步是從公式(1)開始的一個簡單的添項減項的恆等變化
$x(t) = sum_{n}{c_{n}Te^{jfrac{2pi nt}{T}}[frac{2pi n}{T}-frac{2pi (n-1)}{T}]frac{1}{2pi}}$ （2）
這裡為了便於初級讀者理解，我做一些比較intuitive的解讀（從小量推導微積分，就是那個高中物理競賽裡面最喜歡玩兒的東西）：
（1）我們構造的 $frac{2pi n}{T}-frac{2pi (n-1)}{T} = domega$ ，因為我們知道一般的周期函數里， $domega = frac{2pi}{T}$ 。這裡使用 $domega$ ，讀者可以認為是我們對 $T$ 取極限的結果，使得 $omega$ 很小。
（2）當T很小的時候，我們的求和符號，可以等價為積分。
（3）同理，這裡的 $frac{2pi}{T}n$ 可以理解為discrete版本的頻率，對應continuous裡面的 $omega$ 。
這個時候，可以終於可以define我們的頻譜 $X(omega)$ 了

$X(omega) = c_{n}T,;;T ightarrow infty$ (3)
其實我本科的時候學Fourier也沒搞清楚這貨到底是什麼東西。自己推倒一次之後就清楚多了，他並不是憑空想像出來的函數，而且結合了FS的極限表達。
好了，那麼 $x(t)$ 和 $X(omega)$ 到底是什麼關係呢？這裡就是我們大名鼎鼎的FT。現在我們來推導她：
通過式子（2），以及之前提到的一些小量到極限的變換，我們得到
$lim_{T o infty} x(t) = int_{-infty}^{infty}{X(omega)e^{j frac{2pi n t}{T}} frac{domega}{2pi}}$ （4）
這個就是我們的inverse FT（逆傅里葉變換？）。
再根據定義式子（3）和第一部分里FS的結果，我們得到
$X(omega) = c_{n}T = int_{-frac{T}{2}} ^{frac{T}{2}} {e^{-jomega t} x(t)dt}$
取極限，當 $T ightarrow infty$ ，我們得到FT：
$X(omega) = int_{-infty} ^{infty} {e^{-jomega t} x(t)dt}$

以上(1)(2)(3)就是從基本的Basis（不太了解basis的讀者可以去wiki一下，這個應該在Real Analysis或者Function Analysis裡面有涉及）表達開始，簡單地推出了FS，頻譜，以及FT。當然，這只是我的handwaving版本的推導，為了引發大家的興趣。中間有不嚴密的地方，特別(2)，大家不要太較真...我也不是數學系的...有更好的推導歡迎打臉。

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佔個坑先，這個很好玩兒，我以前自己推過，大概的思想是因為Fourier Series只適用於limited duration或者periodic的信號，你可以先假設一個周期T，然後對T去極限到無窮，就可以推出開了。

現在在外地開會，一個星期忙完了後回來給你照一張我的推導...（可以到時候remind我一下）

信號周期

從有限

（周期信號，可以求傅立葉級數，也有傅立葉變換，它的傅立葉變換是離散譜線，譜線間隔就是周期信號頻率，譜線幅度由傅立葉級數的係數決定。

實際上可以認為周期信號的傅立葉變換就是其傅立葉級數的傅立葉變換，所以也是一種求和表示法。傅立葉級數可以認為仍然是一種時域表示法，把信號分解為無窮復指數的和，而變換是純頻域表示信號）

到無限（非周期信號，只能做傅立葉變換，上述頻率間隔因為認為信號周期無窮大縮小為無窮小，就變成了連續譜，自然其表示需要使用積分）

傅里葉變換可以看作傅里葉級數在周期2L趨於無窮時的情況。傅里葉級數指數形式：f(x)= $sum_{-∞}^{+∞}{C_{n}e^{frac{inpi}{L}x}}$ ,其中 $C_{n}=frac{1}{2L}int_{-L}^{L}f(x)e^{-frac{inpi}{L}x}dx$ ,現令 $alpha_{n}=frac{npi}{L}$ ,則 $Deltaalpha=frac{pi}{L}$

f(x)= $sum_{-infty}^{+infty}{C_{n}e^{ialpha_{n}x}}$

$C_{n}=frac{1}{2L}int_{-L}^{L}f(x)e^{-ialpha_{n}x}dx$ = $frac{Deltaalpha}{2pi}int_{-L}^{L}f(x)e^{-ialpha_{n}x}dx$ = $frac{Deltaalpha}{2pi}int_{-L}^{L}f(u)e^{-ialpha_{n}u}du$

將 $C_{n}$ 代入f(x)表達式

f(x)= $sum_{-infty}^{+infty}[frac{Deltaalpha}{2pi}int_{-L}^{L}f(u)e^{-ialpha_{n}u}du]e^{ialpha_{n}x}$ = $sum_{-infty}^{+infty}frac{Deltaalpha}{2pi}int_{-L}^{L}f(u)e^{ialpha_{n}(x-u)}du$ = $frac{1}{2pi}sum_{-infty}^{+infty}int_{-L}^{L}f(u)e^{ialpha_{n}(x-u)}duDeltaalpha$

令L $ightarrowinfty$ ，則 $Deltaalpha ightarrow0$ ，記為d $alpha$ ,

得f(x)= $frac{1}{2pi}int_{-infty}^{+infty}int_{-infty}^{+infty}f(u)e^{ialpha(x-u)}dudalpha$

記 $gleft( alpha ight)=int_{-infty}^{+infty}f(u)e^{-ialpha{u}}du$

f(x)= $frac{1}{2pi}int_{-infty}^{+infty}g(alpha)e^{ialpha{x}}dalpha$

前者即為傅里葉變換，後者為逆變換

那個...1的推導，積分後面應該有dt吧？