概率論中的隨機遊走（Random Walk）中，怎麼理解最終行走距離的平方的期望等於步數？

01-21

無規律行走：即初始位置在原點（x=0），拋硬幣，正面即向前走一步（x＋1），負面則後退一步（x－1），大量計算顯示，隨著步數（N）的增加，偏離原點的程度會越來越遠，而偏離步數的絕對值的期望是根號N，即最終偏離步數D(n)的平方的期望是步數的平方，易從D(1)^2＝1以及D(n)^2的期望=D(n-1)^2+1推得此結論，但無法理解...用概率分布來算零點的概率才最大啊！投2n個硬幣正面和反面出現的次數都應接近n，即向前走和向後走的步數期望應該相等，不應該出現單條曲線隨步數的增加偏差越來越大的情況才對啊。。雖然多條曲線總的平均值是0！
事實確實如此，特用c語言rand隨機數函數編了個小程序，每個數據是走了100萬步的最後坐標，絕對值趨於1000，（根號100萬），也證明了此趨勢。

謝邀。

假設一物體每一步行走 $X_i$ ，而 $ext{E}(X_i)=0$ 及 $ext{Var}(X_i)=sigma^2$ ，而若 $i eq j$ ， $ext{Corr}(X_i, X_j) = 0$ ，即每一步沒有關聯（這暗示若 $i eq j$ ， $ext{E}(X_i X_j)=0$ ）。經過 $n$ 步後，它的位移為 $X=sum_{i=1}^n X_i$ ，而

$ext{E}(X) = sum_{i=1}^n ext{E}(X_i) = 0$

$ext{E}(X^2) = sum_{i=1}^n ext{E}(X_i^2) + sum_{i eq j} ext{E}(X_i X_j) = n sigma^2$

從第二式可以看出題主所提的結論。

E(X) 、E(|X|)、E(X^2)這三者必須分別計算，非線性運算和期望不能交換次序。

大家的答案都很專業，不過我覺得應該不是樓主想要的。樓主又是計算又是編程的，想必公式和結果都很清楚了，只是想要個直觀的解釋吧。

因為我之前也有過和樓主一模一樣的想法而有一天突然開竅了，所以非常理解樓主的意思和心情。

簡單說吧：樓主別忘了無規行走討論的是距離的平方，或者說距離的絕對值而不是距離本身。也就是說如果你畫一個曲線就會發現，在0處概率最大，±1次大，±2再次大……但是！無規行走考慮的不是1處，也不是-1處，而是「距離為1處」，所以應該把±1都考慮進去，或者更直接說，1處概率的2倍（因為±1概率相等）。所以，沒錯，考慮正負號的話0處確實最大（前面說的概率分布曲線長得可能會像單狹縫衍射圖樣似的，嘿嘿，當然不是啦，不過是那麼個趨勢，你知道我的意思的），但是，一考慮到「絕對值」，零點就成了最倒霉的一個點了，因為它無法加倍。所以樓主別搞零點崇拜了，零點雖然美，但是仍然抵擋不住「絕對值」這個流氓，零點是純潔的，但是「絕對值」說「只要數對的不管方向的全收了」。一維的算是客氣的，更高維的流氓零點更加沒有招架之力了。

首先概率是一個大量重複實驗的結果，就是你投硬幣足夠多次，走了足夠多步。多多算足夠…反正是相當相當多，以至於結果基本趨向一個極限。所以樓主的圖還是不足以說明問題，做實驗次數有點少了…

無規行走問題，或稱為醉漢喝酒問題。即一個人，往前往後走，每一次都是各1/2概率，問足夠多步後在哪。結果是在原地，而不會越來越遠。這是個期望問題，詳見概率論教材…

平方以後就是絕對值么，1一的平方還是1，所以就是步數了。

因為是平方啊……不存在正負抵消所以會越加越大

零點的概率的確最大，但是這個「最大」是相對其它可能性而言的。設投硬幣次數為 $2n$ ，則 $2n$ 次後停留在 $x=0$ 的概率是

$P(X_{2n} = 0) = ext{C}_{2n}^n left( frac{1}{2} ight) ^{2n}$ ,

而 $2n$ 次後停留在 $x=k$ ( $|k| leq 2n$ , $k$ 是偶數) 的概率是

$P(X_{2n} = k) = ext{C}_{2n}^{k/2 + n} left( frac{1}{2} ight) ^{2n}$ .

易見

$P(X_{2n} = 0) > P(X_{2n} = k) , ; forall k<br /> e 0.$

但是 $P(X_{2n} = 0)$ 本身卻 $o 0$ (當 $n o infty$ ), 二者並不矛盾。

用術語解釋術語就是耍流氓。

以下為白話：
5年前，畢業時班上幾十號人70%做了金融，剩下30%其他行業的人也或多或少用到了上課學到來東西。這個時候隨機遊走的期望就是金融，偏差就是那30%人從事的周邊行業。
5年後的今天，還在做金融的只剩50%，剩下的有轉行當律師的，有進軍演藝圈的，有去facebook/google的，有創業成功的，也有創業失敗的。就算同樣待在金融圈，大家境遇也大有不同，比如我讀MBA的時候，發現某門課是我當年的同班同學在講。。。這個時候隨機遊走的期望仍然是金融，偏差和五年前卻不可同日而語了。

期望不隨時間變化，可能性隨著時間越來越廣闊。

有人說，人生不是隨機遊走，我只想說：

In a perfect world, a hard worker will be better off. However, life is more like a random walk. Sometimes, if not always, luck matters more. - 紐約老聞.

建議題主看一下An introduction to probability theory and its application第五章關於random walk的講解, 很清晰易懂地解釋了這種anti-intuition的行為

平方的期望和期望的平方能一樣么。。平方後再期望是描述離散程度的，和你和是多少有什麼關係。。

可以這樣理解么，，因為下一步只取決於上一步的信息，導致一旦發生該步沒落在0上的偏差（也就是-1或者1），如果下一步無法回到0點上，也就是走到了-2或者+2，那麼接下來就和0點沒有什麼太大的關係了，因為第三步絕壁不可能回到0點了

雖然感覺這樣解釋有一種用假設解釋結果的嫌疑，不過貌似從裝逼的角度能說得通、、。。

想知道三維隨機行走均方位移公式。是與步長成三次方關係嗎？？