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已知非負數a，b，c≤1求證ab√(1-c)+ac√(1-b)+bc√(1-a)≤1？

01-21

一道數學不等式的題目

本題十分容易,不需要導數工具,高深的不等式和精巧的構造.

做代換 $a=frac{x(x+2)}{(x+1)^2}$ 和另外兩個,代入原不等式,去分母展開整理得

$x^2y^2z^2+xyz(xy+yz+zx)+x^2+y^2+z^2+2x+2y+2z+1geq 4xyz$

這是顯然的,僅僅是5次項和1次項均值起來就已經比右邊大了.

細心的讀者會發現等號取不到了,原因留作習題

令 $frac{sqrt{1-a}}{a} =x,frac{sqrt{1-b}}{b} =y,frac{sqrt{1-c}}{c} =z$

這裡 $x,y,z$ 的定義域為 $[0,+infty )$

只需證明： $x+y+zleq frac{1}{abc} cdot cdot cdot cdot cdot cdot cdot (1)$ ,

由 $frac{sqrt{1-a}}{a}=x,$ 解出 $a=frac{-1+sqrt{1+4x^{2}}}{2x^{2}}(ageq 0)$

仿此，只需證： $sum_{cyc}^{}{x} leq prod_{cyc}^{} frac{1+sqrt{1+4x^{2}}}{2}$

考慮函數： $f(x)=lnfrac{1+sqrt{1+4x^{2}}}{2}$ ,計算得在 $[0,+infty )$ 上有拐點 $x_{0}=frac{1}{2}sqrt{frac{1}{2}(1+sqrt{5})}approx 0.63601$ ，在該點左邊下凸在右邊上凸，因此：

對於任意 $x+y+z=k$ , $g(x,y,z)=f(x)+f(y)+f(z)$ 取到最小值的只能有如下幾種點： $(0,0,k),(0,y,k-y),(x,frac{k-x}{2},frac{k-x}{2}),(frac{k}{3},frac{k}{3},frac{k}{3})$ ，

其中第1，2，4三種都對應簡單的蛻化情形，此處略去不證，

考慮第3種情形：不妨令 $b=c$

此時我們要證明： $2absqrt{1-b}+b^{2}sqrt{1-a}leq 1$ ,令 $sqrt{1-a}=t$ ,得到二次式

$g(t)=2bsqrt{1-b}(1-t^2)+b^{2}t-1$ ,整理得：

$g(t)=-2bsqrt{1-b}t^2+b^2t+2bsqrt{1-b}-1$ ,此時化為對二次函數極值的討論：

由 $g(0)<0,g(1)<0$ ，知該 $g(t)=0$ 有解必然有 $frac{b}{4sqrt{1-b}}<1, riangle =b^4-8bsqrt{1-b}(2bsqrt{1-b}-1)geq 0$

無解。

綜上，不等式得證

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