石頭剪子布隨機消去，最後剩餘各情況的概率如何求解？

01-21

有 a 個石頭、b 個剪刀和 c 個布（abc均大於0）。每次隨機地在剩餘的手勢里取出兩個，若相同則任意放回一個，若不同則僅將勝利的一方放回（如取出石頭和剪刀，就將石頭放回）。最後將剩餘唯一的一個手勢。
分別求這個手勢是石頭、剪刀和布的概率。

多圖預警！

首先我們很容易可以得出遞推公式：

$overrightarrow{p}(a,b,c)=frac{overrightarrow{p}(a-1,b,c)(a(a-1)+2ca)+overrightarrow{p}(a,b-1,c)(b(b-1)+2ab)+overrightarrow{p}(a,b,c-1)(c(c-1)+2bc)}{(a+b+c)(a+b+c-1))}$

邊界條件

$overrightarrow{p}(overrightarrow{e_i})=overrightarrow{e_i}$ ，其中 $overrightarrow{e_i}$ 為單位向量。

接下來，我用Mathematica將結果畫出來（代碼附最後）。

以下結果將以正三角形陣表示，上角為純石頭，左下角為純剪刀，右下角為純布。

點陣中的圓盤顏色代表勝率，紅色越多為石頭勝率越高，綠色為剪刀，藍色為布。

a+b+c=2時：

這是個很顯然的結果，如1剪刀1布時剪刀顯然贏，故正下方為綠色。其他同理。

a+b+c=3時：

同樣很平凡。

a+b+c=4：

這時候不平凡的結果終於出現。

如中上的點，代表的是2石頭1剪刀1布，但是色調卻是偏藍的紫色，為什麼？

原來，在石頭占多數的時候，剪刀幾乎被壓制，而布卻如魚得水，優勢盡顯，甚至蓋過了石頭。再說了，石頭多了，剪刀就容易被消滅，而剪刀一旦被消滅，石頭面對布（哪怕一個）也已經毫無還手之力了。就像羊多的地方，不見得對羊有利，但是卻是狼的天堂，一樣的道理。

這樣的模型，有點類似於三方博弈，任何一方都要利用第二方來牽制第三方，所以最優策略往往是平衡而非消滅。

以下為a+b+c=5,6,7,8,9,10的情況，可以看出，隨著規模的增大，上面說的規律越來越明晰了。

好了，讓我們看看a+b+c大的時候，圖片將會顯出怎樣的趨勢。

不廢話，直接扔a+b+c=200的圖吧。

可以看出，紅色塊雖「發源」於上方，卻「佔領」了三角形的左邊，進而逆時針地「入侵」了三角形的下部主要部分，綠色塊和藍色塊同理。其實樓上 @舒自均的答案，包含了這張圖從下邊中點到正三角形四心連線中的趨勢。

這張圖再次印證了上面的道理：

羊多的地方，不見得對羊有利，但是卻是狼的天堂。

你看，數學中蘊含著哲理，不是嗎？

//下一步，我將考慮 $a+b+c ightarrow infty$ 的情況並將正三角形連續化，列出偏微分方程並求解，敬請期待（≥▼≤）（麻麻說在一句話前面加兩杠別人就看不見了啦啦啦～）

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感謝評論區題主 @王希（貌似是位大牛）提出了一個建議，給了我非常好的靈感來補充答案。

在已知其他兩方初始數量的情況下，如何決定自己的數量以使自己有最高的勝率？

以下站在石頭的角度看問題，剪刀就是自己的食物，布就是自己的天敵。其實站在哪邊都一樣～

假設剪刀和布的總量不變。

1、食物和天敵的數目基本持平，48剪刀48布。畫圖如下，橫軸為自己（石頭）的數量，縱軸為勝率，下同。

可以看出，自己的數量遠遠少於另外兩方是有利的：正如樓上所指出的，石頭數量少了，就可以先讓剪刀把布清理光，自己在一旁觀戰，最後再對手無縛雞之力的剪刀進行「大屠殺」；而石頭多了，剪刀和布相遇的機會就少了，而石頭和剪刀相遇的機會就多了，不利於後期形勢。

當然，也不能太單槍匹馬，否則一個不小心就容易被布消滅了，就再也沒有自己的天地了，所以基本的數量是要有的。

實際上，從圖中可以看出，石頭的最佳數量是9個左右。

2、天敵遠遠多於食物。以8剪刀88布為例。

可以看出，圖像的最高點明顯往右移了。畢竟布多了，石頭與布相遇的概率就增大了，這時候石頭更擔心被消滅得一個不剩，所以石頭需要更大的基礎數量（大約26個左右）來保證基本的生存。懸崖更高更危險了，就讓自己離懸崖更遠吧。

同時其最高勝率比起前者也降低了很多（0.07以下），因為這是逆境，要兼顧的多了，所以很難兼顧過來啊。

3、食物遠遠多於天敵。以88剪刀8布為例。

奇妙的是，這時候只需3-4個石頭就能達到最高勝率，並且即使只有1個石頭也能達到0.8以上的勝率。和前面相反，因為布少，不用擔心自己被消滅。

總結：謀事在人，成事在天。儘管根據其他兩方的數量來調整自己的數量很重要，但是在其他兩方無法改變的情況下，你能達到的最高勝率也是無法改變的。順境下就算不用很努力也能有很好的結果，逆境下你達到了最大努力也不能改變什麼。做好自己，盡最大努力，然後無須論成敗。

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附：Mathematica代碼，渣風格請輕噴

1、這裡是計算基本數據的

p[1, 0, 0] = {1, 0, 0}; p[0, 1, 0] = {0, 1, 0}; p[0, 0, 1] = {0, 0, 1}; For[k = 2, k &<= 200, k++, For[a = 0, a &<= k, a++, For[b = 0, b &<= k - a, b++, c = k - a - b; p[a, b, c] = (p[a - 1, b, c]*(a (a - 1) + 2 c a) + p[a, b - 1, c]*(b (b - 1) + 2 a b) + p[a, b, c - 1]*(c (c - 1) + 2 b c)) /((a + b + c) (a + b + c - 1)) ] ] ]

2、這裡是畫三角點陣圖的

n = (*這裡是a+b+c的值*); Graphics[ Table[ Table[ {RGBColor[p[a, b, n - a - b][[1]], p[a, b, n - a - b][[2]], p[a, b, n - a - b][[3]]], Disk[{-3 a/2 - 3 b, 3 Sqrt[3] a/2}, 1] }, {b, 0, n - a}], {a, 0, n}] ]

3、這裡是畫勝率隨自己勝率變化的關係的：

DiscretePlot[p[a, (*食物數量*), (*天敵數量*)][[1]], {a, 0, 100}]

謝邀,這個一看就不太能解析解,不過很容易遞推,跑程序即可

$P(r,s,p)=frac{r(2p+r-1)P(r-1,s,p)+s(2r+s-1)P(r,s-1,p)+p(2s+p-1)P(r,s,p-1)}{(r+s+p)(r+s+p-1)}$

值得一提的是一個手勢的勝利,不能靠自身的數量,而是要考慮到其它手勢的進程.我怎麼也想不到,布剪刀都不動,石頭怎麼越多勝率就越低了.後來有人和我講,石頭越多越會幹掉剪刀,剪刀沒了石頭就掛了.所以石頭想贏就要悶聲當最少,這是最好的.

有一部動/漫叫《賭博默示錄》就是講這個大量石頭剪子布卡牌互相消除的遊戲的題主有興趣可以了解一下