工具變數回歸時怎樣理解局部平均(LATE)?

01-23

謝邀。其實我沒有很明白題主的意思，我就從工具變數的角度來談一下如何理解LATE吧。

（既然題主的問題比較技術化，在此我假設這篇答案的讀者已經掌握了基本的OLS、2SLS等方法。）

首先我們需要從這個題目的背景談起。LATE的大背景是什麼？Treatment effects。所以首先我先引入一些notation。

假設一個個體參與一個項目（treatment），如果參與項目，其outcome為 $y_1=g_1(x)+u_1$ ，如果不參加，其outcome為 $y_0=g_0(x)+u_0$ ，我們關心的是個體參與項目與否其outcome的差別， $y_1-y_0$ ，或者說，處理效應（treatment effects）。當然，由於異質性，每個人的處理效應是不一樣的，我們經常關注平均處理效應（Average Treatment Effects，ATE）： $E(y_1-y_0)$ 。

然而，由於不存在平行世界，我們只能觀察到 $y_0,y_1$ 其中的一個，而非both。因此我們觀察到的實際上是 $y=dy_1+(1-d)y_0$ ，其中 $d$ 是一個0-1函數，代表個人是否參加了這個項目。以上的方程可以寫為：

$y=d[g_1(x)+u_1]+(1-d)[g_0(x)+u_0]=g_0(x)+d[g_1(x)-g_0(x)]+u_0+d(u_1-u_0)$

其中 $alpha=g_1(x)-g_0(x)$ 是我們關心的處理效應。我們不妨做一個假設，約束一下函數形式，假設 $g_0(x)=x$ ，以上式子變成了：

$y=x$

現在問題來了，如果我們直接ols y on x d是肯定不行的，因為誤差項 $u_0(x)+d(u_1-u_0)$ 是跟d相關的。那麼一個很自然的想法就是找一個工具變數z。然而，著並沒有什麼卵用。為啥呢？因為工具變數要求跟d相關，而跟d相關的變數，都跟誤差項相關。。。。

所以這裡，為了使得以前的工具變數方法可以使用，我們必須做一個更強的假設，把 $d(u_1-u_0)$ 給去掉，傳統的工具變數才能用。如果假設 $u_1=u_0$ ，那麼問題解決了，我們可以使用之前的工具變數了。

不過，這裡工具變數該怎麼用是個很有意思的事情。最傳統的，我們可以使用2SLS的方法，也就是先拿d對x和z做回歸，得到 $hat{d}_1$ ，然後用 $hat{d}_1$ 替換d進行第二階段回歸（ $hat{d}_1$ 的下表1代表第1階段回歸）。

不過觀察到d是一個0-1變數，更有效的方法是第一階段不用OLS，而是用諸如probit、logit的方法做，得到一個 $hat{d}$ ，然後用 $hat{d}$ 作為d的工具變數。注意這裡是使用 $hat{d}$ 作為工具變數，而並不是使用 $hat{d}$ 替代d，這是有關鍵差別的。有什麼差別呢？忽略常數項和 $x$ ， $hat{d}$ 作為工具變數估計的實際上是：

$frac{E[hat{d}y]}{E[hat{d}d]}=frac{E[hat{d}(dalpha+u)]}{E[hat{d}d]}=frac{alpha E[hat{d}d]+E[hat{d}u]}{E[hat{d}d]}=alpha$

而如果直接回歸y on d，得到的結果是：

$frac{E[hat{d}y]}{E[hat{d}^2]}=frac{E[hat{d}(dalpha+u)]}{E[hat{d}^2]}=frac{alpha E[hat{d}d]+E[hat{d}u]}{E[hat{d}^2]}=alphafrac{E[hat{d}d]}{E[hat{d}^2]}$

顯然兩者是不相等的，後者低估了處理效應的magnitude。

此外，這裡一個關鍵點是，任何z的函數都可以作為工具變數，但是做出propensity score $hat{d}$ ，繼而使用 $hat{d}$ 作為工具變數可能又潛在的效率的提升。那麼LATE（local average treatment effects）呢？

在LATE里，我們有一個比較特殊的工具變數，簡單敘述起見，z也是一個0-1變數。有了工具變數，我們有兩種做法，第一種還是跟上面一樣，計算出z=0/1的propensity score $E(d|z=1)$ 、 $E(d|z=0)$ ，工具可能是： $zcdot P(d|z=1)+(1-z)P(d|z=0)$ ，這是上面的做法。還有一種做法，是直接使用z作為工具變數，也就是：

$frac{cov(z,y)}{cov(z,d)}$

我們來看分子， $cov(z,y)=E(zcdot y)- E(z)cdot E(y)$ ， $E(zcdot y)=E(y|z=1)cdot P(z=1)$ ， $E(z)cdot E(y)=P(z=1)cdot [E(y|z=1)cdot P(z=1)+E(y|z=0)cdot P(z=0)]$

最終， $cov(z,y)=(P-P^2)[E(y|z=1)-E(y|z=0)]$

分子同理，最後得到：

$frac{cov(z,y)}{cov(z,d)}=frac{E(y|z=1)-E(y|z=0)}{P(d|z=1)-P(d|z=0)}$

也就是LATE的表達式。

為什麼使用LATE？熟悉LATE的都知道LATE之所以被稱之為「local」，是因為LATE有一個非常簡單的經濟學解釋：LATE度量的是，從z=0到z=1，會從d=0變到d=1的那些人的平均的處理效應。

有點繞，我們來舉個栗子。就像 @閆文收講的那個經典的例子。用離學校的距離做IV，一共有四類人：無論如何都會去上學的；無論如何都不去上學的；距離近就上學，距離遠就不上學的；距離近不上學，距離遠上學的。而LATE在這裡假設第四類人，也就是家和學校距離越遠越願意上學的，這個非常不符合直覺，假設不存在這類人。那麼LATE度量了第三類人，也就是因為家近才去上學的人的平均處理效應。

以上，從IV的角度看LATE，寫完了。其實LATE一般不是這樣講的，如果感興趣可以繼續看Angrist的書《mostly harmless econometrics》，或者Wooldridge的《cross sectional and panel data》也講的很不錯。

假設你想看當兵對以後工作收入的影響，但是這裡邊有內生性，所以你想找一個iv，影響當兵的選擇，但不直接影響收入。

你發現越南戰爭期間，美國用抽籤的方式決定誰去當兵，抽籤的標準是出生日期，如果你被抽中了，恭喜你，政府要求你去當兵，如果你沒被抽中，政府就不會強迫你去當兵。

由於抽籤是隨機的，所以並不直接影響收入，但抽籤確實影響了當兵與否，所以這是一個合適的工具變數。

但是抽籤只能解釋當兵行為的一部分。設想世界上有四種人：

1、堅定的愛國主義者：抽中了，自然義無反顧去當兵；抽不中，沒有條件創造條件也要上。

2、堅定的反戰主義者：抽不中，自然不去當兵；抽中了，寧可坐牢也不當兵。

3、普通人：抽中了，就去當兵；抽不中，就不去當兵。

4、瘋子：抽中了，寧可坐牢也不去當兵；抽不中，卻死也要去當兵。

這樣，抽籤對當兵與否的影響就是異質的，這種情況下我們iv的估計量就是LATE。

例如，考慮一個抽中了並且去當兵的人，這時候我們不知道他是普通人，還是堅定的愛國主義者，我們也就不知道假如沒抽中，他會選擇什麼；同樣，考慮一個抽不中並且沒去當兵的人，這時候我們也不知道他是普通人，還是堅定的反戰主義者，我也不知道假如抽中了，他會選什麼。

設當兵的收入是Y(1)，不當兵的收入是Y（0），則沒抽中時，四個人的收入分別是：

1、y（1）

2、y（0）

3、y（0）

4、y（1）

抽中時，四個人的收入分別是：

1、y（1）

2、y（0）

3、y（1）

4、y（0）

也就是抽籤與是否被treat並不是一一對應的，具有異質性。這時候我們用抽籤的變化直接相減的話，我們發現對於1和2來說，直接被剪掉了。

那麼剩下的是我們感興趣的處理效應嗎？對於3來說，y（1）-y（0）確實是，但是對於4來說，它卻是y（0）-y（1）。如果我們求個平均的話，也就是以3和4的人數進行加權，我發現加權之後的這個數，即使3的平均處理效應確實是正的，這個數也可以是任何一個數，可以是正的，可以是負的，也可以是零。

我們做一個假設：不存在瘋子。

也就是對於一個正的激勵，人們總是在激勵後比激勵前更可能去做這個事兒。於是第四類人沒有了，我們相減得到的，就是第3類人的y（1）-y（0），這確實是我們感興趣的處理效應，但只是第3類人的處理效應，所以是LATE。

DingPeng: 因果推斷簡介之六：工具變數（instrumental variable）

此回答要求至少修過高級計量經濟學才看得懂，天坑慎入。

天坑挖掘中...

#1. Roy 模型和反事實觀測#

Roy 模型描述了這樣一個選擇機制，個體(agent)可以觀測到兩種結果，接受治療(D=1)的效果Y1和放棄治療(D=0)的效果Y0。

Y1 = b1X+e1

Y0 = b0X+e0

在一般化Roy模型中，b1和b0是不一樣的，更重要的是e1和e0是不一樣的，且不是獨立！假設你的選擇是否選擇輟學回家賣豬肉，影響學霸成就的隨機變數可能和影響商人成就隨機變數正相關(是否有毅力)，也可能負相關(是否書獃子)。

然後你選擇治療時，還要付出一個成本，即

C=c1X+c2Z+eta

其中Z是僅出現在成本方程中，而不出現在結果方程中的排除限制(exclusion restriction)，aka 工具變數(IV)。別問我為啥取這個名字，我也表示吐槽不能。

此處注意eta和e1，e0不同，並且可以有協方差。妖吧，不然怎麼符合Heckman不作死就不會死的風格。

個體然後做一個權衡

Y1-Y0-C &>0，則選擇治療

Y1-Y0-C

========半成品=======

要理解IV和LATE的關係，首先要理解所有的treatment effect都是marginal treatment effect的加權平均。在模型假設下，MTE只是propensity score的方程，IV通過改變propensity score的分布來改變權重，從而改變treatment effect。

LATE可以認為是某個propensity score子域上的加權平均。經典LATE權重為均勻分布。所以LATE可以看作是一種非常特殊的IV的結果。

這個觀點的重要推論是，當MTE不獨立於propensity score時，每個IV的treatment effect都不同。

這個系列參見Heckman, Urzua和Vytlacil 2006發表的undetstanding instrumental variables in models with essential heterogeneity.

讓題主去看most harmless economtrics 是一種誤導。Angrist和Imbens本質上是不信任IV的。因此對他們而言只有LATE，沒有IV。只有Heckman這樣的結構主義者才迷戀IV。

雖然是Heckman訓練出來的，但是我是越來越不相信IV了。放眼數據分析大千世界，只有經濟學家如此痴迷IV和unbiased estimator。這更像是個自己忽悠自己的邪教。

套用我導師（top b-school副院長，HansenHeckman的學生）在教我們Panel Data時說的話「LATE總比沒有好」

感覺反事實情況就跟薛定諤的貓一樣。。。。

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