熱知識：從地球上墜入太陽的難度

01-26

墜入太陽問題的一個不可忽視的問題就是軌道動力學裡面的引力助推效應（Gravity assist - Wikipedia），也叫做奧伯特效應：

In astronautics, a powered flyby, or Oberth maneuver, is a maneuver in which a rocket falls into a gravitational well, and then accelerates when its fall reaches maximum speed. The resulting maneuver is a more efficient way to gain kinetic energy than applying the same impulse outside of a gravitational well. The gain in efficiency is explained by the Oberth effect, wherein the use of a rocket at higher speeds generates greater mechanical energy than use at lower speeds.

引自Oberth effect - Wikipedia

請跟著我的思路走，真實的計算要複雜的多，這裡就完全簡化了：

首先，你要先飛到地球的近地軌道（Low Earth orbit - Wikipedia），你至少需要： $v_{1} =sqrt{GM_{earth} /R_{earth} } =7.9km/s$

假設你的飛行器助推裝置（Boost）能給你提速到10km/s的 $Delta v_{1}$ ，你現在到達了近地軌道（軌道半徑近似為6371km），但是你離著地球逃離速度還遠著呢，空氣阻力和引力阻力對飛行器來說是負向作用，它們最後都會變成摩擦力轉化為內能消耗。要達到逃離地球的速度：你至少需要

你至少需要 $Delta v_{2} =v_{2} -v_{1} =11.2-7.9=3.3km/s$ ，也就是3.3km/s的二次加速來逃離地球的引力勢井（gravity well）。

現在飛行器進入了離開母星的雙曲線軌道（Hyperbolic trajectory），這時候取決於題主的立意了：

1）如果你想墜入太陽，你必須以凈速度為0的方式被太陽引力納入範疇，那麼這時候你必須要達到抵消地球公轉的速度29.78km/s你才會在這個參考系中達到0的速度，那麼這時候 $v_{infty} =29.78km/s$

2）如果你想逃離太陽系，那麼你只要達到地球擺脫太陽引力束縛的42.1km/s（Escape velocity - Wikipedia）的速度即可，接著地球本身的公轉速度，你只需要 $v_{infty} =42.1-29.78=12.32km/s$

在雙曲線軌道上，能量守恆：

根據不同的軌道速度，飛行器的第三次加速所需要的推力也不相同，還是按照之前的兩種情況討論：

1）要墜入太陽，這時候的 $v_{3} =31.81km/s$ ，那麼這時候的助推加速為 $Delta v_{3} =v_{3} -v_{2} =32.81-11.2=21.61km/s$ ，也就是第三次加速為21.61km/s；

2）要逃離太陽系，這時候的 $v_{3} =16.64m/s$ ，那麼這種情形下的助推加速為 $Delta v_{3} =v_{3} -v_{2} =16.64-11.2=5.44km/s$ ，也就是第三次加速為5.44km/s；

也就是要從地球上墜入太陽，第三次加速需要的推力幾乎是其需要逃離太陽系的四倍，而消耗的燃料還要更多。

重說三！

然而，即使你達到了相對地球凈速度為0，你的雙曲線軌道速度為31.81km/s，也妥妥的超過了飛出太陽系的最小速度，也就是第三宇宙速度：16.7km/s（Escape velocity - Wikipedia），也就是你想墜入太陽，結果是你逃離了太陽系。

下面就是飛行器墜入太陽，其助推器要經歷的三次加速階段：

1.加速至近地軌道，需要 $Delta v_{1} =10km/s$ ，也就是10km/s；

2.逃離地球引力勢井，需要 $Delta v_{2} =3.3km/s$ ，也就是3.3km/s；

3.抵消地球影響，凈速墜入太陽，額外需要 $Delta v_{3} =21.61km/s$ ，也就是21.61km/s；

那麼你的推進裝置在這三個階段需要提供 $Delta v=Delta v_{1} +Delta v_{2} +Delta v_{3} =34.91km/s$ ，一共34.91km/s的助推力！

這是不同噴射發動機的有效排氣速度（exhaust velocity）對比：

圖片截取至Specific impulse

一般的太空梭主發動機（Space Shuttle main engine）的有效排氣速度為4.4km/s，那麼根據齊奧爾科夫斯基火箭方程（Tsiolkovsky rocket equation）的變形，帶入之前計算的不同情形下的加速助推力：

引自Mass ratio - Wikipedia

可以得到：

1）要墜入太陽，這架飛行器的質量比率為2791:1，也就是NASA任務的太陽探測器（Solar Probe Plus）的初始質量為610kg，那麼它的有效載荷為 $M_{payload} =2790 imes 610=1701900kg$ ，也就是可以裝載1702噸的物質，當然它也不需要那麼多物資；

2）要逃離太陽系，這架飛行器的質量比率為71:1，這個就小的可憐了，如果要去太陽系外探索，那麼假設航天器（Voyager 1 - Wikipedia）的初始質量為825.5kg，那麼它的有效載荷為 $M_{payload} =70 imes 825.5=57785kg$ ，也就是將近58噸的物資了。

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下面是需要注意的幾個方面：

1）要墜入太陽，相對於母星的凈速度最好為0，否則飛行器就不會是墜入，而是繞著太陽轉了：

圖片來自https://www.youtube.com/watch?v=LHvR1fRTW8g

2）因為離太陽越近，所受的引力越大，環繞的軌道半徑越小，行星的公轉速度越大：

圖片摘自Orbital Speed of Planets in Order

離太陽最近的水星，其公轉速度為47.87km/s，地球的環繞速度為29.78km/s，小行星帶後的木星為13.07km/s，而氣態巨星之中距離太陽最遠的海王星，其公轉速度只有5.43km/s。我把這些參數近似計算後，做成了一個表格，方便大家理解：

那麼對比一下，需要以相對母星凈速度為0的方式墜入太陽，你不可能選擇從距離最近的水星走，因為，你至少需要從相反的方向以47.87km/s速度前行，這太不切合實際了；從地球墜入太陽的方案在上面也討論過了；那麼很便捷的一個方案是從公轉速度比較低的小行星帶後的幾顆氣態巨星實施，比如海王星，只需要抵消它7.7km/s的公轉速度，然後慢慢地墜入太陽的懷抱即可。

這就是NASA在早期的太陽研究任務中所設計的那樣：