集合論中的自反性證明？

01-23

假設R是非空集合A中的一個關係，並且具有對稱性和傳遞性。有人斷定R是一個等價關係，其推理如下：
「對a,b∈A，從a R b得b R a，又從傳遞性得a R a，因而R有自反性，故為等價關係，」（題目問他的推理對嗎？）
標準答案：不對。集合A的任意元素都要滿足自反性，如果上述關係中存在a∈A，對任意的b∈A，a R b不成立，則a無自反性。並給出了這樣的一個例子：M={（a，b）∣a∈A，b∈A，ab≠0}當a=0時，a與b沒有關係，a與a也沒有關係，得證。
我的問題：這個答案非常奇怪因為如果a與b沒有關係，那麼也不存在題目中的傳遞性和對稱性了是嗎？怎麼可以在假設的時候假設ab沒有關係呢？

對稱性指的是"如果aRb 則 bRa", 但並不代表任意a和b, aRb都成立.

嚴格寫起來是這樣:

由對稱性: aRb -&> bRa

由傳遞性: aRb且bRa -&> aRa

由上兩式可推出, aRb -&> aRa

但自反性的定義是: 任意a, aRa. 這裡推不出自反性

除非我們假設: 任意a, 存在b, aRb. 但這個假設是沒有根據的。

發現回答比想像的少，可能是因為 @吳育昕的答案已經一語中的了。所以，我下面寫的內容就算是對他答案的補充和說明啦（面向仍不是很懂這個問題的童鞋們）。我會再深入些，盡量細緻而且徹底地把……整個問題……解釋一下（其實一個朋友問過我，掌握一些數理邏輯的知識對於學習基礎數學有直接的用處嗎？我當時就舉了這個問題作為栗子。）不理解簡潔版本的答案的童鞋可以自己努力想想或讀下面長長的答案，然後，希望你能理解~

----------------------------------------強迫症非要打一條昏割線-------------------------------------------

邏輯蘊涵是解釋這個問題必要的數理邏輯的基礎，先回顧一下~（可選擇食用）

$A ightarrow B$ 稱作「 $A$ 蘊涵 $B$ 」或「如果 $A$ ，那麼 $B$ 」。其真值表如下：

$A ightarrow B\T T T\T F F\F T T\F T F$

關於邏輯蘊涵的一切信息全部寫在真值表中了。我們看到，當前件 $A$ 為假時，命題 $A ightarrow B$ 一定為真，這一點有時候會有點兒不好理解。比如說一個日常的命題，「如果薰醬最後沒有死掉，那麼地球是圓的。」這個命題聽著毫無意義，好像無所謂真假。而因為它的前件為假的/(ㄒoㄒ)/~~，根據真值表，我們仍可以說它為真命題。

然而對於一個數學命題來說，這樣規定的好處在於，比如說不論 $a$ 取什麼實數，命題「如果 $ageq 2$ ，那麼 $ageq 0$ 」是符合直覺的， $a$ 取 $-2$ ， $0$ 和 $2$ 的時候，（前件，後件）的真值分別為 $left( F,F ight) ,(F,T),(T,T)$ ，這時我們始終期待它為真命題。

下面進入正題吧！

$sim$ 為集合 $A$ 上的一個關係，稱其為等價關係，如果滿足以下三個性質：

（自反性） $forall ain A,asim a$
（對稱性） $forall a,bin A,asim b ightarrow bsim a$
（傳遞性） $forall a,b,cin A,asim bwedge bsim c ightarrow asim c$

題主給出的錯誤的推理相當於要證明命題「 $sim$ 滿足對稱性且滿足傳遞性，則 $sim$ 滿足自反性。」，即命題

$(forall a,bin A,asim b ightarrow bsim a)wedge(forall a,b,cin A,asim bwedge bsim c ightarrow asim c) ightarrow(forall ain A,asim a)$

為真命題。

/*這裡要再說下邏輯的事，

$ightarrow$ 本來的含義是「邏輯蘊涵」，但平時好多人習慣用「推出」這個詞，比如，「由對稱性和傳遞性能不能推出自反性呢？」然後為了解決這個問題呀，我們便從對稱性和傳遞性出發（也就是理所當然地認為 $sim$ 已經滿足了對稱性和傳遞性了），努力地從形式上推導出自反性來，這樣便證明了這個命題是真的。想想，我們證明邏輯蘊涵的命題為真時都是這麼做的：「證明對任意實數 $x$ ，如果 $xgeq 1$ ，那麼 $x^{2}-1geq 0$ 」，我們的證明過程是「由 $xgeq 1$ ，有 $x^{2}geq 1$ ，則 $x^{2}-1geq 0$ .」因為當前件為假的時候，邏輯蘊涵一定是真的，所以我們只需默默地認為前件為真，然後嘗試著由它推導出後件即可，這是我們證明的時候再自然不過的思維方式。但切記，蘊涵是真的並不意味著前件一定為真（要回答題主的問題，本來這一句就夠了）

?_? 下面繼續。*/

所以說，我們只需要假設 $sim$ 滿足對稱性和傳遞性，然後努力地從形式上推導出自反性就行啦。

當命題 $forall a,bin A,asim b ightarrow bsim a$ 為真時，在集合 $A$ 中任取兩個元 $a$ 和 $b$

當 $asim b$ 為真時，由真值表可知 $bsim a$ 一定為真。這時再看傳遞性，命題 $forall a,b,cin A,asim bwedge bsim c ightarrow asim c$ 為真，那麼 $forall a,bin A,asim bwedge bsim a ightarrow asim a$ 為真，結合 $asim b$ 和 $bsim a$ 同為真，由真值表可知 $asim a$ 為真，故在這種情況下 $sim$ 滿足自反性。.
當 $asim b$ 為假時， $asim bwedge bsim a$ 一定為假，這樣，結合命題 $forall a,bin A,asim bwedge bsim a ightarrow asim a$ 為真，我們還是無法判斷 $asim a$ 的真值。

就是說，我們的假設（ $sim$ 滿足對稱性和傳遞性）允許 $forall ain A,asim a$ 為假這種情況出現。也就是可以出現 $(forall a,bin A,asim b ightarrow bsim a)wedge(forall a,b,cin A,asim bwedge bsim c ightarrow asim c) ightarrow(forall ain A,asim a)\Thspace{20mm}Thspace{34mm}Thspace{30mm}Fhspace{14mm}Fhspace{12mm}$

的情形。

所以命題「 $sim$ 滿足對稱性且滿足傳遞性，則 $sim$ 滿足自反性」為假命題。

對稱性是一個邏輯蘊涵的形式的命題，假設它為真並不意味著它的前件（即 $asim b$ ）一定為真。問題就出在這裡。（如前面所強調過的，犯這個錯誤是因為我們通常證明邏輯蘊含為真的習慣是只考慮前件為真的情形，從而把「邏輯蘊涵」理解成「推出」。）

用通俗的語言來講，即便 $sim$ 滿足對稱性，我們在 $A imes A$ 中任取一個元 $(a,b)$ ，它並不一定在子集 $sim$ 里。再換一種說法，我們在 $A$ 中任取一個元 $a$ ，並不一定存在 $bin a$ 使得 $asim b$ 。那麼，就不能說 $forall ain A,asim a$ 為真。

就是醬~_(:3 」∠)_

對於傳統的答案我還是有疑慮。

在X中有x，在Y中有y。將Y中的元素分為兩類，一類等於x，一類不等於x。

設對於Y中等於x的元素，不可能有xRx，因為那樣相當於直接就證明了。

如果再按傳統答案，x與第二類y不存在xRy。那麼x與Y中所有的y都不存在xRy。

這樣x根本就不是R關係的定義域中的元素。

如果可以這麼做的話，那麼所有的等價關係都可以不滿足自反性，因為你總可以找到等價關係定義域之外的一個元素，說這個元素對於這個等價關係不滿足自反性，因為這個元素在這個等價關係中根本就沒關係。

如果用答案中的例子來說，0根本就不在等價關係R的定義域內，對於等價關係定義域內的任何元素，確實可以得到a*a≠0。

集合X，以及其上的二元關係R，若滿足：?a∈X，有aRa。則稱二元關係R是自反的，或稱R具有自反性，或稱R為自反關係。