傅立葉、拉普拉斯與Z變換-學習筆記

傅里葉、拉普拉斯變換與Z變換，今天我也來做下這三個變換筆記。無論是通信工程，電子信息工程、生物醫學工程、物理、微電子、自動化、電氣工程及自動化、計算機等等，這三個變換都必須要學習到，可以這麼說，凡是理工科生的如果沒學會這三個變換，你的專業等於是白讀了，應該是濫竽充數，不過好像說的誇張了些（：。

三個變換，本質上就是套用三個數學公式做了相應的積分變換，在實際工作中這些複雜的變換與計算通常是查表或者用類似matlab 或者mathcad之類的軟體去做計算，本筆記主要介紹這三個變換的三個公式的推導，以及三個變換的關聯性。關於三個變換原理或者應用方面的知識，不在闡釋了，網路上已經有很多這方面的文章。

本筆記參考書籍《信號與系統》-----鄭君里版本。

從數學上理解這些變換都屬於積分變換,並有相應的關聯性。其實只要知道傅里葉變換的公式，後面兩個（拉普拉斯與Z變換）都可以通過傅里葉變換變化而來。首先來推導：第一個變換公式傅里葉變換，其次從傅立葉變換中引出拉普拉斯變換，最後Z變換是從抽樣信號的拉氏變換中引出。

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傅里葉變換：（頻域分析）連續系統：

介紹傅里葉變換前，先解釋兩個概念 「頻譜分析」和「傅立葉級數」，然後從傅里葉級數中引出傅里葉變換的概念。

頻譜分析：就是將時域的信號（信號可以是周期與非周期信號）變成頻域形式並加以分析的方法稱為頻譜分析。其目的是把複雜的時域波形，經過某種變換分解為若干單一的諧波分量來研究，以獲得信號的頻率結構以及各諧波和相位信息。這某種變換可以是傅里葉級數，也可以是傅里葉變換進行變換.這兩者目的都一樣，都是把時域信號變成頻域以便於信號分析。

其實傅里葉級數只是屬於傅里葉變換的一種特殊的表達形式。

那麼什麼是傅里葉級數？

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? 傅立葉級數：

long long ago…(:法國有位數學家叫傅里葉，（：他有了個新發現，任意周期函數（周期信號）可以用正弦函數和餘弦函數構成的無窮級數來表示，這種用三角級數表示形式就是傅里葉級數。但三角級數表示的傅里葉級數有個缺陷就是求頻譜係數比較麻煩，所以又想到了通過歐拉公式把三角級數變成了指數級數的表示形式，很明顯這不僅僅在求譜係數上,在做積分上指數形式也更簡單了，那麼用指數形式表示一個信號也是傅里葉級數。

所以傅里葉級數有兩種表示形式：分別為三角級數形式和指數級數形式，

這兩種表示形式都可以稱為傅立葉級數。如公式（a）,(e).

(前面說了對信號做頻譜分析可以用傅里葉級數展開，也可以用傅里葉變換，但是通常我們對周期信號是用傅里葉級數展開，而非周期信號用傅里葉變換。)

看了是不是還有點迷糊？那我們就用數學公式來描述吧，這樣也許更直觀些。

假設有個周期信號f(t)，周期為T1,角頻率為ω1=2*π/T1，頻率為f1，--------》要做頻譜分析怎麼辦？那就傅里葉數展開吧

▲三角形式的傅里葉級數

圖1

有上可見，公式a左邊f(t)是一個周期信號，而右邊是一個三角函數的線性組合，或也可以成為三角級數表示方式，那麼這種三角級數的表示方式就稱為傅里葉級數。

但公式（a）有個問題，就是說在每個頻率點上可能會有兩個三角函數，這不利於信號能量的計算或圖形表示，為了便於畫圖我們做了一些變換，用三角公式中的合角公式對公式（a）進行了轉換，把同頻率的項加以合併，於是得到了餘弦形式的傅里葉級數或正弦形式的傅里葉級數，如式（b）,(c).

圖2

由上總結：

1. 一個周期信號可以分解成了直流分量、基波（ω1），和各次諧波（基波角頻率整數倍n*ω1）的線性組合。

圖3

2，周期信號頻譜具有離散型，諧波性，收斂性。

到此三角形式的傅里葉級數已經介紹完，但是我們發現三角形式還存在一些問題，我們前面也有提到過，求譜係數不好求，做積分也不好做，怎麼辦？於是想到通過歐拉公式轉換到指數形式的傅里葉級數。

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圖4

圖5

但是這兩個公式都應用於周期信號的頻譜分析，那麼對非周期信號我們怎麼做呢？於是傅里葉拿出了專門准對非周期信號頻譜分析的公式，這個公式就是我們說的傅里葉變換，其實這個公式就是從傅里葉級數公式中演變過來，下面介紹怎麼從傅里葉級數中變出這個傅里葉變換的公式。

? 傅里葉變換的引出

什麼是傅里葉變換？一句話，傅里葉變換就是把一個信號，（這個信號可以是周期與非周期信號）分解成無數的正弦波信號的相加的一種變換。（它屬於一種積分變換）這些信號可能幅值，頻率相位各不相同的信號。其實這個概念跟傅里葉級數是相似的，但是不同地方傅里葉變換還可以對非周期信號進行頻譜分析,那麼下面就開始推導這個公式。

圖6

圖7

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拉普拉斯變換：（復頻域分析）連續系統：

做傅里葉變換有個條件，滿足狄里赫利條件，要求信號f(t)絕對可積，此條件限制了某些上升信號如eat,無法求傅里葉變換，為了使這樣更多類似信號存在變換，引入了一個衰減因子e^(-σt),即在原信號f(t)乘以 e^(-σt),這樣絕對可積條件滿足，就可以求出e^(-σt)*f(t)的傅氏變換了，公式如下。

圖8

******************************************************************************************到此拉譜拉氏變換公式求出，如式(F2)是單邊的拉氏變換，雙邊拉氏變換隻是把積分下限0改成-∞，如上所述，拉氏變換是在傅氏變換基礎上了引入衰減因子，它把f(t)分解成無限多個變幅、振蕩之和，並振幅隨e^σt變化，它把傅氏的頻域分析延伸到了復頻域分析，它可以說是傅氏的升級版本。它最明顯好處是把微分方程變成代數方程求解，從而使計算簡化。

在自動控制理論中對控制系統的分析和綜合，都是建立在拉氏變換的基礎上的，由此可見搞控制專業的這個拉氏變換是非常重要。

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Z變換：（Z域分析）離散系統：

在離散系統或數字控制系統中出現了差分方程，因此人們就想既然連續系統中有拉式變換，那麼是不是離散系統中也會有一個方法能夠起到相同的簡化作用呢？於是Z變換就提了出來。Z變換最明顯優點是它把離散系統的數學模型----差分方程變成了簡單的代數方程，這使求解變得簡化，也便於寫程序。

其實z變換就是藉助抽樣信號的拉氏變換引出。

首先抽樣信號xs(t)如式：

圖9

式中x(t)為一個連續的因果信號，δ_T (t)為衝激序列，它實際上一個周期的衝激信號，因具有抽樣性，所以兩者相乘後的實際意義就是對X(t)連續信號的採樣，其中抽樣間隔為T。

我們知道因果信號起始時刻為零，於是在t<0的時間範圍內f(t)=0,這樣(z1)積分下限改從零開始。

所以（z1）式變成了（z2）式，然後對（z2）取拉氏變換。

即對信號xs(t)乘一個衰減因子e-st，然後再積分，這就是拉氏變換，如式（z3）。

圖10

公式(z6)就是Z變換的公式了。

注意：與拉氏變換一樣,Z變換也有單邊Z變換與雙邊Z變換之分，同樣雙邊Z變換,只是把n下限有0改成-∞，

所以公式(Z6)為單邊的Z變換，而因為我們通常用的都是單邊Z變換所以這裡只列出單邊Z變換的公式。

到此傅里葉，拉普拉斯，Z變換的三個公式已經全部求出。

這是我今年，2017年02月-寫的筆記，現傳到知乎，以後有時間還會發幾篇我之前寫過的學習筆記。--目前正在寫的PID學習筆記以後也會陸續上轉。

目前主要研究方向-硬體底層驅動-機器人伺服動力控制、機器人ROS操作系統、電機控制

同時，學習 人工智慧-深度學習-機器學習-神經網路！希望能在知乎里能認識更多同行，認識更多朋友，老師、在讀學生也可以，興趣相投不計較年長還是年幼。

同時另外本人有一個機器人控制系統群， 機械設計（SolidWorks）、語音識別、ROS、控制系統等各個專業的人都有，有興趣可以發私信加。

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