為什麼長方形的烤盤容易烤糊四個角及邊緣而圓形的烤盤受熱更均勻，不容易烤糊邊緣？

01-25

角度與受熱情況的關係是怎樣的？

其實烤盤無論是圓的還是方的，邊緣都要比內部溫度高一些，邊緣區和內部區域比起來與空氣接觸的面積更大，但因為空氣的熱導率比烤盤材料低，熱量在邊緣傳遞的速度就要比內部低，溫度就會升高，就像河流遇到了一個狹窄的地方一樣。

而方形的盤子角的部分和邊緣比起來又有一個尖端效應。

根據傅立葉定律： $dot{Q}=-kappacdotfrac{dT}{dz}cdot A$

單位時間內通過材料的熱量與溫度梯度以及橫截面積A成正比。溫度的梯度 $frac{dT}{dz}$ 在熱源確定以及冷端溫度確定的情況下是常數（當然這是一種理想情況，我們可以考慮成一端是熱源溫度，一端是室溫），而導熱 $kappa$ 係數和材料有關，所以導致散熱差異的主要因素在於橫截面積A。對於尖端，如果極端一點考慮，幾乎是沒有面積的，就是一條線。所以嚴格來說，如果不考慮熱輻射，這部分的熱量就不散失。所以角的部分溫度尤其高。

至於@曾博朋友提到的，原諒我的唐突，我覺得並不能認為對稱性是一個好的答案，有一點想當然。這和對稱性的關係並不太大，考慮一個六角星形的烤盤，其對稱性比正方形要高，但是是否其角的溫度比正方形的低？抑或考慮圓角的方形盤，會比尖角盤的尖端效應小很多，但是對稱性和尖角盤是一致的；所以對稱性在這裡不是很恰當的解釋。其次，熱量的分布這個概念並不準確，應該是溫度分布，熱量不是靜態的，關鍵在於熱量傳遞的速度，熱量值並不代表溫度值。

好像LZ在做什麼數學建模的題目，至於要得到一個數值上的解答，於泠汰朋友提到的就是實現的方法。

希望能有所幫助。

從對稱性我們可以對這個問題做一個初步的定性解答：

如果盤子是正方形，那麼他的四個角顯然破壞了對稱性（也就是說，一個正方形的盤，只具有點群對稱c4，每旋轉90度，才能回到自己）

那麼他的熱量分布必須遵循這個對稱性，也就是四個角的分布是一樣的，但是四個角和其他地方的分布是不一樣的。可以想見，四個角因為曲率比較大，存在尖端，他們的熱分布梯度會存在一個極大值，加熱比較快。

如果是一個圓盤，它具有連續的旋轉對稱性，也就是不論你轉多少度，它都能回到自己本身。這就決定了他的熱分布必須也是角均勻的。那麼他就不可能存在特別的極值點（除了原點）。因為分布的比較散，在總能量一定的情況下，不存在正方形盤所有的，個別點受熱特別大的現象。

關於對稱性的爭論，我是這個意見：

模擬之後可以看看熱量分布圖。（能量均分定律）。邊角的enhancement 宏觀的說就是對稱性決定的，當然這只是一個定性的分析，具體多大的確和曲率等有關係。至於你說的6角形，6角每個尖端的的曲率大於四角尖端，效果更明顯才是。我提倡用對稱性解釋穩態問題。這一點在光學中應用廣泛，特別是modal analysis . Laplace 方程和熱傳導都是線性方程，求解的時候邊界條件就是對稱性決定的。

做完數模美賽A題後回來答，因為看到知乎上一個問題叫做

你為什麼要在知乎上回答問題

有一個高票答案說

因為教授給他人的學習內容存留度是學習方式里最高的；因為在知乎被陌生人點贊可以一次滿足三個最高級人類需求。

為了存留自己學習的內容，滿足自己的高級需求我還是回來答一答【哈哈哈哈】

------------------我是分割線咯-----------------

要研究烤盤的受熱分布顯然我們需要用到熱傳導方程，

$frac{partial u}{partial t} -frac{k}{c ho}( frac{partial^{2}u }{partial x^{2} }+ frac{partial^{2}u }{partial y^{2} })=0$

烤盤與空氣傳熱屬於熱傳導方程中的第三類邊界條件,滿足

$-kfrac{partial u}{partial n}=k_{1}(u-u_1)$

經過整理（恆等變化）以後其一般寫成如下形式：

$(frac{partial u}{partial n}+alpha u)=g(x,y,z,t),t>0$

其中 $alpha=frac{k_1}{k}>0,g=frac{k_1}{k}u_1$

當然這個偏微分方程在這個邊界條件下是沒有解析解的，就是說我們沒辦法用溫度具體的函數來描述刻畫這個烤盤的溫度分布。

那麼，沒轍了嗎？當然不是。

微分方程的數值解法還是很多的，我們可以用有限差分、有限元法等來給出近似解，即描繪出烤盤大致的溫度分布。

而【hee hee hee】Matlab里的PDE(Partial Differential Equation) toolbox就是採用有限元法(Finite Element Method)來便捷地解偏微分方程的。-----【意思就是，你連有限元法本身都不用會，只需要將微分方程和邊界條件寫進去，就可以有結果，當然這句話是說給美賽做到這道題作為練習的同學的&<嘿嘿&>】，利用PDE工具我們可以得到如下的圖像：

從圖上可以看到：矩形導熱物體（當然這裡就是我們的烤盤），其四個頂角確實是溫度最高的。

更多的從熱交換的角度，樓上 @Richard May 用傅里葉定律的解釋感覺方向似乎搞反了吧，這裡並不是熱量從烤盤散失的問題，而是烤盤通過周圍的熱空氣被從外向里地加熱了。

當然我並不是物理專業，對於這個現象只是做了數學解釋，但是熱力學方面的理論分析還是有很多疑問的。碰巧做了數模A題，有一些見解，希望這裡也拋個磚引個玉，能有更深入理解的高手們來講解一下

根據熱力學第二定律和熱傳導的方程就可以用有限元的方法算出來這一點，具體過程用matlab可以模擬出來。（其實哥們你可以做MCM B題的。。。A題很糾結的）