期權定價筆記

01-26

去年學習 Shreve 的《金融隨機分析2》和 Hull 的《期權、期貨及其它衍生品》記的期權定價筆記。

重要的知識點都對其所在章節進行了標記，需要複習這些知識的朋友可以直接拿去當提綱用了。

一般而言，期權定價有兩套方法：（1）解析分析（analytical analysis）；（2）概率分析（probablistic analysis）。

1 解析分析

解析分析的目標是得到描述衍生品價格變化的偏微分方程（partial differential equation, PDE）。在數學上，PDE 是用於描述一個函數 $f(S, t)$ 對原生變數的偏導數 $partial{f}/partial{S}$ 和 $partial{f}/partial{t}$ 的變化過程的方程。

因此，考慮 $f(S, t)$ 為衍生品價格， $S$ 為原生證券價格， $t$ 為時間。如果我們想要得到一個描述衍生品價格變化的偏微分方程，則我們需要：

（1）用一個偏導數表達式展開 $df(S, t)$ ；

（2）為這個偏導數表達式找到一個等價關係。

$df(S, t)$ 的偏導數展開由伊藤引理（Ito『s lemma）給出（ 《金融隨機分析2》第四章和《期權、期貨及其它衍生品》第十三章），其形式很像泰勒展開：

$df(S, t) = (partial{f}/partial{S})cdot dS + (partial{f}/partial{t})cdot dt + frac{1}{2}cdot (partial^2{f}/partial{S^2})cdot dSdS$

等價關係來源於無套利假設（no-arbitrage hypothesis）（《期權、期貨及其它衍生品》第十四章）：

$dPi =rPi dt$

其中 $Pi$ 為一個由原生證券、期權和現金構成的多空組合。它的意義是該投資組合的收益率等於無風險利率，否則就會出現套利機會。

由此得到 Black-Scholes (BS) 方程（推導見 《金融隨機分析2》第四章）：

$partial{f}/partial{t} + rScdot (partial{f}/partial{S}) + frac{1}{2}sigma^2S^2cdot (partial^2{f}/partial{S^2})= rf$

這裡我想要表達的核心觀點是：只要能夠對函數的微分用偏導數進行展開，加上無套利假設給出的等價關係，我們一定可以找到描述衍生品價格的偏微分方程。而偏微分方程的解就是衍生品的價格。

無套利假設來源於金融，其多大程度上成立取決於市場；而在伊藤引理中，函數偏導數只展開到二階項，是由布朗運動的二次變差（quadratic variance）等於時間長度 $t$ 決定的。如果你的隨機過程不能用布朗運動描述，那你需要進行具體分析展開式中要保留多少階項（ 《金融隨機分析2》第四章和書中習題 3.4）。

另一個幫我們找到偏微分方程的方法是費曼-卡茨定理（Feymann-Kac theorem）（ 《金融隨機分析2》第六章）。但這個方法的前提是找到隨機過程的鞅，所以它算是「解析分析+概率分析」結合的方法吧。

得到一個期權的偏微分方程，及其相應的邊界條件（boundary condition）和最終條件（final condition）後，極少數情況下我們可以得到其解析解；大多數情況下我們可以通過數值求解（例如有限差分法）求解。對於高維的偏微分方程（涉及到多個原生證券）的數值求解，會出現「維數災難」（curse of dimensionality）的問題。其意思是，隨著維數的增加，離散化(discretization) 所需要的格點 (grid points) 總數呈指數級增加（《期權、期貨及其它衍生品》第二十章）。對於高維期權的定價，一般採用下面介紹的蒙特卡羅模擬。

2 概率分析

概率分析的起點很簡單， $t$ 時刻衍生品價格的期望可以通過折現方式計算：

$E[f(t)]= e^{-u(T-t)}cdot E[f(T)]$

其中 $E[f(T)]$ 為 $T$ 時刻期權價格的期望， $e^{-u(T-t)}$ 為折現因子， $u$ 為原生證券的收益率期望。

例如我們知道歐式看漲期權到期日的價格為： $C(T)=(S(T)-K)^+$

則其 $t$ 時刻的價格期望為： $E[f(t)]= e^{-u(T-t)}cdot E[(S(T)-K)^+]$

在以上表達式中，真實收益率期望 $u$ 對不同原生證券不同，而且很難獲知；依據哥薩諾夫定理（Gisanov』s theorem），在任意測度下，期權的定價都是一樣的。因此，如果我們變換到風險中性測度（risk-neutral measure）下，我們不需要知道各個原生證券的真實收益率期望 $u$ 是多少。只需要知道無風險利率 $r$ 是多少。資產管理第二定律（fundamental theorem of asset pricing）證明了在市場完備的情況下，風險中性測度存在且唯一（（ 《金融隨機分析2》第五章）。

例如，在歐式期權定價時，對於完備市場模型中的任意原生證券，在風險中性測度下，其期權的無風險貼現因子價格就是一個鞅（martingale），因此其價格期望為：

$E[f(t)]= e^{-r(T-t)}cdot E[(S(T)-K)^+]$

除了風險中性測度外，理論上我們可以選擇任意測度，其實質是選擇不同的計價單位（numeraire）進行定價。在一些利率衍生品定價中，選擇合適的計價單位可以大大簡化計算（ 《金融隨機分析2》第九章）。

考慮原生證券的價格連續變化，則期望可以用積分的形式表示：

$E[g(x)] = int_{-infty }^{infty } g(x)dP=int_{-infty }^{infty } g(x)cdot f(x)dx$

上式第一個積分為勒貝格積分（Lebesgue integral），第二個積分為常見的黎曼積分。

勒貝格積分描述了一個隨機變數 $x$ 的函數 $g(x)$ 對概率測度的微分 $dP$ 的積分。概率測度不像實數軸一樣連續變化，因此其積分計算相對複雜。幸運的是，我們知道，只要黎曼積分有定義，黎曼積分和勒貝格積分就一定相等（《金融隨機分析2》第一章）。因此我們可以用常用的黎曼積分技巧來對計算一個隨機變數的函數的期望。

在期權定價中，隨機變數 $x$ 為原生證券價格，其函數 $g(x)$ 為期權到期日的價格表達式。 $g(x)$ 的表達式一般依據期權的類型給定。因此，計算上述期望的難點在於，如何確定各種奇異期權（exotic options）的概率密度函數表達式 $f(x)$ 。在對奇異期權定價時， $f(x)$ 通常是多個隨機變數的的聯合概率密度函數。例如美式期權（American option）和障礙期權（barrier option）定價要考慮停時（stopping time）問題；亞式期權（Asian option）和回望期權（lookback option）則要考慮其路徑依賴（path-dependence）《金融隨機分析2》第七、第八章）。

基於概率分析的數值方法一般有樹模型（tree model）和蒙特卡羅模擬。樹模型通過節點不斷衍生來代表期權價格變化的各個可能性，得到樹的結構以後，通過倒推就可以得到在特定時刻 $t$ 的期權價格。樹模型一般較常用於美式期權定價，而三叉樹理論上和有限差分法求解 PDE 是等價的，因此同樣存在維數災難的問題，不適合於高維的期權定價。

蒙特卡洛模擬是基於大數定律，對高維積分進行計算的常用數值方法。對於低維的期權定價，其收斂速度慢於有限差分法或者樹模型；但對於高維期權定價，其時間複雜度遠小於有限差分法或樹模型，因此不存在維數災難的問題。且蒙特卡羅模擬本身易於並行化，所以是最常用的方法。

這兩套方法的連接點是鞅表示定理（martingale representation theorem）（ 《金融隨機分析2》第五章）。

考慮隨機分析裡面的伊藤積分（Ito『s integral）：