怎麼理解偏微分方程中的特徵線，什麼樣的線可以稱為特徵線？

01-27

搬運自己的答案。。。

最近正好複習過特徵線，結合一個計算流體力學中的例子簡單說說如何用特徵線來解決問題。

特徵線是雙曲型方程的重要性質，可以用對流方程進行一個簡單的說明。

考慮對流方程初值問題：

對於x－t平面上的方程

所確定的一族曲線（在這裡c為常數，所以是一族平行線x=ct+b）就是特徵線，沿著這族曲線的任意一條，方程的解u=u(x(t),t)的解就是t的函數（特徵線打通了x和t的關係）。所以就有以下的：

最後回到了對流方程本身。所以在這種情況下U＝常數。

這說明了沿著特徵線，雙曲方程的解為常數。

如上圖，對於x-t平面(t&>0)，上任何一個點，設過P點的特徵線與x軸相交於Q點。根據上面的性質，有:

所以你看，對於對流方程，利用特徵線就可以很好的把任意t下方程的解轉化為t=0時方程的解，這也就是初值問題的解了。希望可以幫你理解特徵線的作用。

P.S. 這種求解方法就叫特徵線法。

原答案鏈接：

鏈接：線性代數中的特徵線以及特徵值如何理解？最好能結合Riemann不變數進行講解，不甚感激！ - 侯拓的回答

一階偏微分方程的特徵線法 - 科學空間|Scientific Spaces

這是我近日學習特徵線法的總結，歡迎參考。

原則上來說，特徵線法對於任意的一階偏微分方程都適用。它的成立可以說是一種美麗的巧合～