再論不相關資產的最高夏普率

01-27

碰巧讀了陳宇皇所寫的專欄文章，是自己比較感興趣的一個課題
《不相關資產的最大夏普比率 —— 一個簡單的計算公式》
所以深入思考了下，對原文做了兩處補充：

利用柯西不等式簡化推導過程

高中數學學過以下形式的柯西不等式：

$(a_1cdot b_1+a_2cdot b_2+...+a_Ncdot b_N)^2 leq (a_1^2+a_2^2+...+a_N^2)cdot(b_1^2+b_2^2+...+b_N^2)$

其中等號成立的充要條件為：存在常數 $lambda$ 使得 $a_n=lambda b_n$ 對任意n成立。利用柯西不等式，我們可以將原文中的推導簡化，甚至初等化。

記N個資產的收益率為 $r_1, r_2, ..., r_N$ ，假設我們知道每個資產的預期收益率和波動率：

$E(r_n)=mu_n$ $Std(r_n)=sigma_n$

從而就知道了每隻資產的夏普率

$SR_n = mu_n / sigma_n$

記我們在N個資產上的權重依次為 $w_1, w_2, ..., w_N$ ，於是組合的預期收益率和方差為：

$mu_P = w_1mu_1+w_2mu_2+...+w_Nmu_N$

$sigma_P^2=w_1^2sigma_1^2+w_2^2sigma_2^2+...+w_N^2sigma_N^2$

利用柯西不等式有：

$mu_P^2=[w_1mu_1+w_2mu_2+...+w_Nmu_N]^2$

$=[(w_1sigma_1)cdot (mu_1/sigma_1)+(w_2sigma_2)cdot (mu_2/sigma_2)+...+(w_Nsigma_N)cdot(mu_N/sigma_N)]^2$

$leq (w_1^2sigma_1^2+w_2^2sigma_2^2+...+w_N^2sigma_N^2)cdot((mu_1/sigma_1)^2+(mu_2/sigma_2)^2+...+(mu_N/sigma_N)^2)$ $=sigma_P^2cdot (SR_1^2+SR_2^2+...+SR_N^2)$

整理得到

$SR_P^2leq (SR_1^2+SR_2^2+...+SR_N^2)$

其中等號成立的充要條件為：存在常數 $lambda$ 使得 $w_nsigma_n = lambda mu_n/sigma_n$ ，即 $w_n=lambdamu_n/sigma_n^2$ 對任意n成立。換言之，按照 $mu_n/sigma_n^2$ 來分配權重可以獲得最高夏普率。

結論可以簡單記憶為：不相關資產能夠實現的最高夏普率滿足勾股定理，最優組合權重為 $mu_n/sigma_n^2$

命題的應用價值

這個命題比較理論，實踐中有各種問題，但它確實高屋建瓴，給我們指出了投資的大方向和基本原則。以下兩點拋磚引玉：

提高整體夏普率的一個有效方法就是尋找與現有組合低/不相關的新資產。低相關和高夏普率是新資產優劣的評判標準。
即使按最粗的分類，投資者實際上也能找到很多低相關的資產，例如股票、債券、CTA、海外資產、量化對沖、各種套利策略等