MHD簡介

01-28

hello 大家好，我在專欄第二篇文章裡面說過我會介紹一些我了解的等離子模擬方法，今天想簡介一下我所理解的MHD方法。

MHD方法的全稱是Magnetohydrodynamics，中文的翻譯是磁流體力學。在對於等離子的模擬之中，根據對於粒子描述的細緻程度，大體可以分為三個層次：流體描述，PIC(Particle in Cell)描述，全分子動理論描述。這三種層次之中最理想的描述手段就是分子動理論描述，但是這種方法需要的計算量太大，目前即使是超算也沒有辦法滿足計算需求。所以主要使用的還是前兩種，流體近似和PIC近似。

這兩種近似各有優缺點，現在不能說兩種方法哪種更精確。這裡我們將關注點放在流體近似。

流體近似也分成幾種，MHD近似，Single-Fluid近似，Two-Fluid近似等等，後面幾種暫且不提，這篇文章就說說MHD。

在研究等離子體運動時候，如果等離子體的密度很大，同時碰撞頻繁，變化緩慢，那麼我們可以將之處理為導電流體，所謂的緩慢變化是指等離子體的特徵長度和特徵時間遠大於等離子體的平均自由程和平均碰撞時間。此時認為其處於局部熱平衡狀態。

推導MHD控制方程的手段有三種：

? N-body problem to Klimotovich equation, then take moments and simplify to MHD
? Louiville theorem to BBGKY hierarchy, then take moments and simplify to MHD

? Simple ?uid dynamics and control volume

作為一個學流體出身的工科生我顯然是不太了解前兩種方法，因此我就介紹一下利用第三種方法推導的MHD方程。

首先是根據質量守恆定律得出的連續方程

$frac{partial rho}{partial t}+nablacdot rho vec u=0$

然後利用控制體

根據動量守恆定理得出動量方程（後面的大P 都是應力張量）

$rhofrac{Dvec u }{Dt} =nabla P+vec f$

根據能量守恆定律得出能量方程

$rhofrac{d(epsilon +frac{u^{2} }{2})}{dt}=nabla(Pcdot vec u)-nablacdot vec q+rhovec fcdotvec u$

同時因為是導電流體，所以我們必須採用Maxwell方程組來作為電磁場的控制方程組

$nablatimes vec E=-frac{partial vec B}{partial t}n$

$nabla times vec B=epsilon _{0}mu _{0} frac{partial vec E}{partial t}+mu_{0}vec J$

$nablacdot vec E=frac{rho_{q}}{epsilon_{0}}$

$nablacdot vec B=0$

另外還有歐姆定律

$vec J=sigma vec E$

和洛倫茲力定律

$vec f=rho_{q}vec E+ vec Jtimesvec B$

利用這樣的控制方程組耦合在一起就可以得到我們的MHD方程組，這裡要注意的是，利用量綱分析我們可以忽略掉位移電流 $epsilon_{0}mu_{0}frac{partialvec E}{partial t}$ ，運移電流 $rho_{q}vec u$ 和電場力 $rho_{q}vec E$ 這三項。並且將Lorentz力表達式帶入動量方程之中去，就可以得到MHD控制方程組。

由此，我們就可以利用理論解析法或者數值模擬法進行研究了。

歡迎大家指正！

參考資料：

1. University of Warwick Tony Arbers PPT of Fundamental of MHD

2.Beihang University（北京航空航天大學） Prof. Yus PPT of Plasma Physics.

3.《等離子體物理》李定等中國科學技術大學

4.《等離子物理學導論》劉萬東等中國科學技術大學

5.《磁流體力學》吳其芬等國防科技大學