『資產配置模型』Black-Litterman初探
作者：亦奇 原文鏈接：加入個人觀點的資產配置模型：Black-Litterman----初探
一、背景介紹
在進行資產配置時，最經典運用也最廣泛的當屬馬科維茨的MVO，但是均方差優化有個關鍵的輸入變數——預期收益率，而優化的組合權重對預期收益率又特別的敏感，導致MVO存在一定的缺陷。
Black-Litterman模型算是對MVO的一個擴展，其主要的貢獻是提供了一個理論框架，能夠將市場均衡收益和個人觀點整合到一塊，用以重新估計更可靠的預期收益率，然後將預期收益率帶入MVO，得出最優資產配置。
二、 Black-Litterman 模型核心思想
B-L 模型使用貝葉斯方法，將投資者對於一個或多個資產的預期收益的主觀觀點與先驗分布下預期收益的市場均衡向量相結合，形成關於預期收益的新的估計。這個基於後驗分布的新的收益向量，可以看成是投資者觀點和市場均衡收益的加權平均。
馬克維茲優化會出現不合情理的配置：無限制條件下，會出現對某些資產的 強烈賣空，當有賣空限制時，某些資產的配置為零，同時在某些小市值資產 配有較大的權重。問題的原因有：
（1）期望收益非常難以估計，一個標準的 優化模型，需要對所有資產都有收益估計，因此投資者就會基於他們常用的 歷史收益和一系列假設條件進行估計，導致不正確估計的產生。
（2）組合權 重對收益估計的變動非常敏感。
（3）傳統模型無法區分不同可信度的觀點， 觀點不能很好被模型所表達。
B-L 模型在均衡收益基礎上通過投資者觀點修正了期望收益，使得馬克維茲 組合優化中的期望收益更為合理，而且還將投資者觀點融入進了模型，在一 定程度上是對馬克維茲組合理論的改進。
本文的重點就在於如何用個人觀點修正期望收益
主要分下面3個部分：
1.加入個人觀點之前，求預測收益率的先驗分布
假設預期收益服從正態分布：
其中：
n 表示資產數量
τ(tao)：標量(Scalar)
Σ：n 個資產收益的協方差矩陣(n×n 矩陣)
П：隱含均衡收益向量 (n×1 列向量)
2.構建觀點正態分布
k 表示投資者觀點數量（k<=n）
P：投資者觀點矩陣(k×n 矩陣，當只有一個觀點時，則為1×n 行向量)
Q：觀點收益向量(k×1 列向量)
Ω：觀點誤差的協方差矩陣，為對角陣，表示每個觀點的信心水平(k×k 矩陣)
3.將觀點引入之前的預期收益分布，得到調整的預期收益分布
E[R]：新(後驗)收益向量 (n×1 列向量)
′ 表示矩陣轉置
-1 表示逆矩陣
在求得新預期收益向量後，我們進而可以帶入MOV模型，求出最優資產配置組合權重W
三、B-L模型具體步驟
3.1 輸入參數
（1）W 每個資產的均衡權重
按照CAPM假設，最優的風險資產組合即為現有的整個市場，所以均衡權重應該是按照現有的資產之間的總市值佔比求得。
PS：這裡需要w是為了求初始的均衡收益，然後求均衡收益的方式有很多，比如CAPM估計，歷史平均來計算等。
（2）Σ 資產之間的協方差矩陣
通過日度歷史數據計算得到（當然，也可以對協方差矩陣進行估計預測之類的）
（3） δ風險厭惡係數
可以假設（一般1~3），也可以計算得到，計算公式是：
（4）τ 均衡收益方差的刻度值
通常取值比較小，在0.025~0.05
PS：因為假設是先驗分布均衡收益的方差是和實際收益率的方差是成比例的，由於B-L模型是將市場均衡收益和個人觀點整合到一起的，那麼先驗分布的均衡收益方差越大的話，其所佔的權重也就越小，個人觀點權重越大，所以τ也可以看成是觀點權重。
3.2 步驟
(1) 用反向求解的方式計算得到先驗的均衡收益
或者用歷史平均來估計均衡收益，又或者用CAPM估計。我們下面的例子將以歷史收益估計均衡收益。
(2) 個人觀點模型化
觀點可以涉及單個資產，也可以涉及多個資產乃至所有資產，也可以有多個資產，最後按照一定的規則將所有觀點構建成矩陣P、Q和Ω。
考慮有K個觀點n個資產的例子，此時，P就是k*n矩陣，每一行代表一個觀點，Q為K*1矩陣，存放每個觀點的超額收益。Ω是k*k對角矩陣，對角線上的每一個元素代表該觀點的方差，與對該觀點的置信程度成反比，在學術界常用的公式是：
舉例：
假設有4種資產、2個觀點，觀點一：資產1比資產3的預期收益率要多2%，置信度為w1；觀點二：資產2的預期收益率為3%，置信度為w2。由於資產4沒有任何觀點，所以資產4的預期收益不需要調整，隨後得出如下矩陣：
(3) 計算整合後調整的預期收益率
這裡直接給出公式:
3.3 結果
調整後的預期收益率估計：
四、一個簡單的例子
4.1 選取的資產（標）
我們從申萬28個一級行業中隨便選取6個來舉例。這裡選取的是 化工、鋼鐵、有色金屬、電子、食品飲料、紡織 6個行業。
採用歷史日收益率計算均衡收益，選取時間段為2005年1月1日至2014年1月1日。 下面代碼獲取數據，最後得到的數據為一個列為行業標號，行為時間的矩陣（點擊參看原文代碼）。
4.2 參數設定及計算
計算或者設定模型所需要的其他參數，主要有：初始均衡收益、協方差矩陣（注意：都需要經過年化處理）、風險厭惡係數、τ 、加入觀點相關的矩陣P、Q、W。
這裡的參數設定比較隨意，風險厭惡係數直接假設2
獲得觀點
觀點可以自行組織，我們在計算初始均衡收益的時候考慮的是平均年化收益，顯然這裡是有個人觀點改進的空間的，不妨先來看看個指數凈值曲線：
801030 0.130297
801040 0.069169
801050 0.206015
801080 0.160056
801120 0.239794
801130 0.151224
我們發現，食品飲料（801120）是跑贏A股指數最多的，且總體比較穩定
有色金屬（801050）雖然年化收益排第二，但顯然進年來在走下坡路，而且前些年的高收益拉高了平均，近期收益期望應當下調
鋼鐵（801040）表現最差，且也是疲軟趨勢
電子（801080）則從跑輸A指到跑贏A指，穩步上升
再對比每個行業相對食品飲料的平均年化收益，我們簡單給出下面三個觀點：
801030 0.109497
801040 0.170624
801050 0.033779
801080 0.079738
801120 0.000000
801130 0.088570
觀點1： 食品飲料的年化收益比鋼鐵高20%（在原來0.17上差距加大）
觀點2：有色金屬的年化收益為10%（相比原來平均0.20615大幅下調）
觀點3：電子的年化收益為20%（相比原來0.16上調）
當然，這樣獲得的觀點不一定正確，也比較片面，實際考慮的因素可以很多。這裡只做個簡單分析。
然後根據觀點得到 P Q Ω
計算最終期望收益率
801040 0.047898
801050 0.170871
801080 0.155716
801120 0.236108
801130 0.141746
可以看出，鋼鐵和有色金屬的期望收益大幅下降了。
我們不妨分別帶入MVO，在無約束的條件下，求出各自的最優資產配置權重W。
801040 -0.916984
801050 0.564449
801080 -0.049731
801120 2.159178
801130 -0.261250
根據最終期望收益率計算最優權重
再計算調整預期收益率後帶入均值-方差模型的最優權重解：
後驗分布預期收益率的方差：
801040 -0.974334
801050 0.340155
801080 0.125672
801120 2.180347
801130 -0.253641
我們發現，果然鋼鐵（801040）和有色金屬（801050）的權重下降了，而電子（801080）權重上升了。
假設我們允許賣空，將權重絕對值的和調為1，我們比較下兩種權重在out-Sample 的2014年1月到2016年1月的凈值曲線：
可以看出，加入觀點的調整後期望收益計算的權重分配策略並沒有跑贏基於均衡期望收益計算的權重的策略。
這裡允許賣空影響了策略收益，也可能是參數設定比較粗糙，還有可能我們加入的觀點然並卵，並沒有幫助收益提升。
另外,可以加入限制條件如限制賣空,權重和為1,限定收益率的,在限制條件下求解均值-方差模型的最優權重解。
本文主要目的是介紹整個模型的基本框架，Black-Litterman值得深入研究的地方還有很多，例如參數的優化、觀點的設定等，另外還有一些坑就是收益是不是滿足正態分布等等。推薦看一些論文及研報~
參考文獻
[1] The Black-Litterman Model In detail
[2] 國泰君安證券 資產配置之B-L模型I：理論篇
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