量化研究（九）：Delta對沖的盈虧分布

（圖多、慎點。）

前一陣子期權組來了幾名實習生，幫我們做一些基礎研究工作。

交流的過程中發現實習生們對於Delta對沖的認知還是有點蒙逼。

於是寫下此文，以後用作培訓普及之用。

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在量化研究（六）中提到了，BSM期權定價公式，實際上就是運用了Delta對沖的思想。

通過用現貨來動態複製期權頭寸，從而使得整個組合無風險。

這裡有兩個問題值得注意：（1）為什麼可以通過現貨複製期權？（2）為什麼是Delta對沖？

關於第一個問題，金融學中有一個概念，叫「完備市場」。

Complete market

大概意思是，如果一個市場的完備的，那麼這個市場上所有的衍生品都可以通過現貨來進行複製。BSM期權定價公式裡面的假設其實就已經內含了完備市場的假設。

關於第二個問題，由於期權是收益非線性的衍生品，非線性的特點，導致期權價格變動和標的價格變動並不是線性變化的關係。在量化研究（六）裡面提到，期權的瞬時收益可以通過泰勒分解展開：

在實際中，由於現貨本身是沒有高階項導數的，因此在複製的時候會出現偏差。這個在量化研究（六）里已經說過，不再贅述。

今天這篇專欄就通過模擬回測來談談Delta對沖的盈虧分布。

初始條件如下：

通過GBM運動與常數波動率生成的路徑如下圖示（一萬條路徑）：

根據上述路徑，計算出期權的價格與delta。

接下來以期權賣方的視角進行分析，假設我們賣出的是ATM期權。

我們知道，看漲期權買方的期末Payoff是長這個樣子的：

由於我們是期權的賣方，因此，通過現貨複製期權的複製頭寸也應該是上圖的樣子。

這裡說一下：由於期權賣方收取的權利金是大概率不足夠覆蓋現貨的保證金，因此在對沖的時候需要借貸，整個現貨組合的市值扣除借貸的金額就等於現貨複製期權的複製頭寸。

先考慮通過股票來複制的情況，交易單位是1股/手。

在到期日，複製的情況如下圖所示：

藍色的點就是現貨複製頭寸的期末盈虧狀況，可以看到，散點圖幾乎和期權的期末payoff曲線吻合。這裡我們可以看到兩個問題：

1. 執行價兩端的情況出現較少，也即是說，極端盈虧情況出現較少。

2. 執行價附近的離散情況比較嚴重，即複製誤差較大。

根據圖示，複製後，整個資產組合的盈虧大概會長得像正態分布的樣子。

事實上如圖示：

關於執行價附近離散情況比較嚴重的情況，請參見下圖：

由於標的價格在執行價附近波動的時候delta變動頻繁，無法連續對沖導致對沖的時候容易被兩邊打臉造成虧損。尤其是臨近到期日，假如標的價依然在執行價附近的話，Gamma變動會加劇，導致複製誤差加大。

實際上，Delta對沖會面臨如下問題：

1. 無法連續對沖導致的對沖誤差。由於存在交易費用，因此對沖頻率和交易費用二者在對沖交易的時候需要權衡。

2. 波動率樣本誤差。由於計算波動率的時候取樣頻率也是離散的，於是會產生樣本誤差。《Volatility Trading》一書，第二章中說到，一般波動率從的取樣誤差由下式給出：

3. 對沖路徑依賴問題。由於對沖非連續的緣故，原本屬於非方向性的對沖交易就變成了追漲殺跌，同樣波動率的兩條標的路徑，對沖後的PnL會完全不一樣。（這個通過上述回測就知道了。）

在量化研究（六）裡面曾經提到過，Delta對沖後，資產組合的盈虧如下式：

留意到式子裡面有個S的平方，因此Delta對沖後，總獲利是依賴於股價的路徑的。

關於對沖究竟用什麼樣的波動率，《Volatility Trading》里的第七章同樣給出了建議：

對於期權賣方（Short Gamma）來說，遇上趨勢行情，一般會調低波動率。遇上震蕩行情，一般會調高波動率。

====== 以下是廢話 ======

記得當時還在基金公司實習，正是找不到工作的時候。

當時在想著，這次實習可能是人生中最後一次做跟量化相關的工作了。

於是我特意買了一本筆記本，把每天的分析證明記下來。

好讓我在去了銀行做櫃員之後，偶爾還能拿出來翻看，想著當年自己也牛逼過。

到了今天，專欄文章有一半內容都是當時做的筆記。

不知道這算不算天道酬勤的例子。

人生啊，確實要比當歸大條一點。

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冼尼瑪

2016/09/08

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