預備篇 II ：隨機場的存在性

01-29

（註：本文中的狀態空間 $({bf{R}},{cal B})$ 替換為「Polish空間 $(E,{cal E})$ 」，結論依然成立！）

現代概率學研究什麼？

現代概率學研究的最基本的對象是某一概率空間 $(Omega,{cal F},{bf{P}})$ 上的隨機變數、隨機過程和隨機場。

其中，隨機變數 $X$ 是概率空間上的可測函數；隨機過程（也是最常研究的對象）是概率空間上的一系列隨機變數 ${X_i}_{iin T}$ ，其中， $T$ 取 ${bf{N}}$ 或 $[0,infty)$ ；隨機場也是概率空間上的一系列隨機變數 ${X_i}_{iin T}$ ，但 $T$ 更大，一般取 ${bf{R}}^n$ 或 ${{bf{Z}}}^n$ 的子集。

不過，現代前沿概率學已經不止滿足於 $X_i$ 的取值了（即取值於 $({bf{R}},{cal B})$ ），現有很多前沿理論已將實值空間替換為更一般的某類拓撲空間 $(E,{cal E})$ 。但在本專欄中，今後若無特別聲明，均默認取值的狀態空間為 $bf ({bf{R}},{cal B})$ 。

概率空間存在嗎？

我們處理實際概率問題的時候，往往事先默認了概率空間 $(Omega,{cal F},{bf{P}})$ 的存在性，然後討論其上的隨機變數、隨機過程甚至隨機場。然而原先的概率空間是否存在，即有沒有一個很大的概率空間 $(Omega,{cal F},{bf{P}})$ 能「hold住」這麼多隨機變數，這是一個我們首要解決的問題。

當僅有有限個隨機變數時，即看成隨機向量，我們很容易得知原先的概率空間是存在的（或者說隨機向量是存在的），比如考慮這樣一個問題：

擲一個骰子，用隨機變數 $X_i$ 來刻畫前 $i$ 次所出現點數之和，通過分析，我們可以得到 $X_i$ 的狀態空間 $({bf R}_i,{cal B}_i)$ 上的概率分布 ${bf{P}}_i$ ，例如 ${ bf P}_i (i)={bf P}_i({X_i=i})= (frac{1}{6})^i$ 。如果 $i$ 取值有限，即只考慮 $i=1,2,...,n$ ，於是由古典概率論的分析和計算，可以得到 $X=(X_1,X_2,...,X_n)$ 這個隨機向量的狀態空間 $({bf{R}}^n,{cal B}^n):=(prod_{i=1}^{n}{{bf{R}}_i}, prod_{i=1}^{n}{{cal B}_i})$ 上的概率分布 ${bf{P}}^n$ ，於是就可以嚴格證明存在一個原來的大的概率空間 $(Omega,{cal F},{bf{P}})$ ，使得 $X_i$ 為 $(Omega,{cal F},{bf{P}})$ 到 $({bf{R}}_i,{cal B}_i)$ 上的隨機變數：事實上，只需令 $(Omega,{cal F},{bf{P}}):=({bf{R}}^n,{cal B}^n, {bf{P}}^n)$ ，再令 $X_i:(x_1,x_2,...,x_n)mapsto x_i$ 即可。

然而，當隨機變數 $X_i$ 的個數不是有限個的時候，即考慮廣義的隨機場 ${X_i}_{iin T}$ （ $T$ 為任一無限集），原先概率空間的存在性（或者說隨機場的存在性）就不那麼顯而易見了。

問題的轉化：從概率空間的存在性到乘積狀態空間上概率測度的存在性

解決問題的思路還是和上面的類似，也就是如果能從狀態空間 $({bf{R}}_i,{cal B}_i,{bf{P}}_i)$ 入手，構造出大的狀態空間 ${({bf{R}}^T,{cal B}^T)}$ 上的概率測度 ${bf{P}}^T$ ，則只需令 $(Omega,{cal F},{{bf{P}}}):=({{bf{R}}}^T,{cal B}^T, {{bf{P}}}^T)$ ，那麼原先的概率空間也就存在了，再令隨機場中每個隨機變數 $X_i$ 為 ${bf{R}}^T$ 到 ${bf{R}}_i$ 的限制，那麼隨機場 ${X_i}_{iin T}$ 也就真真實實地存在了。

因此，我們對「原概率空間的存在」與「隨機場的存在」不加以區分，且以下討論就不涉及隨機場和隨機變數了，而將問題轉換為：狀態空間的無窮維乘積空間上的概率測度是否存在？

什麼是乘積狀態空間？

不過在我們具體分析之前，我們得先給出無窮維乘積空間 ${({bf{R}}^T,{cal B}^T)}$ （直積）的定義：

${bf{R}}^T={{x(i):iin T} :x(i)in{bf{R}}_i}$ （無窮維空間中，元素不再是向量了，而是映射！）

${cal B}^T=sigma({cal C}^T)$ （ ${cal C}^T$ 為所有可測柱集 $B^{T_N}times {bf{R}}^{Tverb$$T_N}$ 構成的集類，其中 $T_N$ 為 $T$ 中任一有限子集， $B^{T_N}in {cal B}^{T_N}$ ）

註：通過引理還可得知 ${cal B}^T=bigcup_{T_csubset T}{{B^{T_c}times {bf{R}}^{Tverb$$T_c}}}$ ，其中 $T_c$ 為 $T$ 中任一可數集， $B^{T_c}in {cal B}^{T_c}$

於是，由上一章很容易驗證： ${({bf{R}}^T,{cal B}^T)}$ 是一個無窮維可測空間。

解決問題的思路

接下來，我們要具體討論，先分析「已知乘積空間上的概率測度後我們能得到哪些信息」這一問題，再解決我們之前的主要問題「知道哪些信息可以得到乘積空間上的概率測度」。

【一】由「無窮維概率空間」得「有限維概率空間」

先看問題的另一面，給定 $({bf{R}}_i,{cal B}_i)$ ，其中 $iin T$ ，如果總的乘積空間 $({bf{R}}^T,{cal B}^T)$ )上存在一個概率測度 ${bf{P}}^T$ ，那麼我們能知道哪些信息？

首先，對任意 $T$ 的有限子集 $T_N$ ，定義 $({bf{R}}^{T_N},{cal B}^{T_N})$ 上的概率測度 ${bf{P}}^{T_N}$ ：

${bf{P}}^{T_N}(B^{T_N}):={bf{P}}^{T}(B^{T_N}times {bf{R}}^{Tverb$$T_N} )$ ， $forall B^{T_N}in{cal B}^{T_N}$ 。

於是我們可以知道任意有限維子乘積空間及其上的概率測度，也就是 $({bf{R}}^{T_N},{cal B}^{T_N},{bf{P}}^{T_N})$ 。

有限維乘積空間 $({bf{R}}^{T_N},{cal B}^{T_N})$ 上的概率測度 ${bf{P}}^{T_N}$ 知道了之後，我們先給出一個等價性定理：

任意 $n$ 維賦予概率測度的乘積空間 $({bf{R}}^n,{cal B}^n,{bf{P}}^n)$ $Leftrightarrow$ 底概率空間 $({bf{R}}_1,{cal B}_1,{bf{P}}_1)$ 加上前 $k-1$ 維空間 $({{bf{R}}}^{k-1},{cal B}^{k-1})$ 到第 $k$ 個空間 $({bf{R}}_k,{cal B}_k)$ 的轉移概率族 $lambda_k$ （ $k=2,3,...,n$ ）。

且有關係： ${bf{P}}^n(B^n)=int_{{bf{R}}^n}{1_{B^n}cdot{bf{P}}_1(dx_1)lambda_2(x_1,dx_2)cdotslambda_n(x_{n-1},dx_n)}$ ， $forall B^nin{cal B}^{n}$ 。

注1：對可測空間 $(E,{cal E})$ 與 $(F,{cal F})$ 來說， $E$ 到 $F$ 的轉移概率 $lambda$ 是 $Etimes{cal F}$ 到 $[0,1]$ 上的函數，且滿足：1. 固定 $Fin{cal F}$ ， $lambda(cdot ,F)$ 是 $(E,{cal E})$ 上的可測函數；2. 固定 $xin E$ ， $lambda(x,cdot )$ 是 $(F,{cal F})$ 上的概率測度。特別地，二維獨立乘積概率空間 $({bf{R}}^2,{cal B}^2,{bf{P}}^2)$ 中（即概率測度是乘積測度，滿足 ${bf{P}}^2={bf{P}}_1times{bf{P}}_2$ ），底概率空間為 $({bf{R}}_1,{cal B}_1,{bf{P}}_1)$ ，轉移概率 $lambda_2(x_1,B_2)={bf{P}}_2(B_2)$ ，與 $x_1$ 無關。

注2：「等價性定理」中的「 $Rightarrow$ 」證明比較複雜，需要用到正則條件概率的存在性定理，即前 $k-1$ 維空間 $({{bf{R}}}^{k-1},{cal B}^{k-1})$ 到第 $k$ 個空間 $({bf{R}}_k,{cal B}_k)$ 的正則條件概率是存在的，而正則條件概率又是轉移概率，因此轉移概率是存在的，並且與原來的概率 ${bf{P}}^n$ 是相容的。

從上圖簡單來看，等價性定理就是： $({bf{R}}^{T_N},{cal B}^{T_N},{bf{P}}^{T_N})$ $Leftrightarrow$ 底概率 ${bf{P}}_1$ 以及轉移概率族 $lambda_k$ 。

其次，對 $T$ 中任意包含 $T_N$ 的有限集 $T_N$ 來說， $({{bf{R}}}^{T_N},{cal B}^{T_N},{bf{P}}^{T_N})$ 與 $({bf{R}}^{T_N},{cal B}^{T_N},{bf{P}}^{T_N})$ 是相容的： ${bf{P}}^{T_N}$ 限制在 $({bf{R}}^{T_N},{cal B}^{T_N},{bf{P}}^{T_N})$ 的概率測度就是 ${bf{P}}^{T_N}$ 。用數學的語言描述就是：任一 $A^{T_N}in{cal B}^{T_N}$ ， ${bf{P}}^{T_N}(A^{T_N})={bf{P}}^{T_N}(A^{T_N}times {bf{R}}^{T_Nverb$$T_N})$ ，這是顯然的。

【二】由「有限維概率空間」得「無窮維概率空間」

接下來就是本文的核心了，即第一部分的反問題——如何從「有限維概率空間」得到「總的無窮維概率空間」了，換句話說，也就是最一開始我們討論的乘積狀態空間上概率測度的存在性問題了。

Kolmogorov相容性定理：給定 $({bf{R}}_i,{cal B}_i)$ ，其中 $iin T$ ，如果我們知道任意的有限維賦予概率測度的乘積空間 $({bf{R}}^{T_N},{cal B}^{T_N},{bf{P}}^{T_N})$ （ $T_N$ 為 $T$ 中任一有限子集），並且滿足相容性條件：任意 $T$ 中包含 $T_N$ 的有限集 $T_N$ ， $({bf{R}}^{T_N},{cal B}^{T_N},{bf{P}}^{T_N})$ 中的概率測度 ${bf{P}}^{T_N}$ 限制在 $({bf{R}}^{T_N},{cal B}^{T_N},{bf{P}}^{T_N})$ 的概率測度就是 ${bf{P}}^{T_N}$ 。那麼總的乘積空間 $({bf{R}}^T,{cal B}^T)$ 上存在唯一一個概率測度 ${bf{P}}^T$ ，即得到 $({bf{R}}^T,{cal B}^T,{bf{P}}^T)$ ，使得總的概率測度 ${bf{P}}^T$ 與任意有限維乘積空間上的概率測度 ${bf{P}}^{T_N}$ 是相容的。

具體證明思路分兩步：

（1）當 $T$ 是可數集時，不妨設 $T={1,2,...}$ ，即正整數集。

則對任意 $n$ ，取 $T_n={1,2,...,n}$ ，有一個 $n$ 維概率空間 $({bf{R}}^n,{cal B}^n,{bf{P}}^n):=({bf{R}}^{T_n},{cal B}^{T_n},{bf{P}}^{T_n})$ 。

由上一部分中的等價性定理知，由 $({bf{P}}^n,{cal B}^n,{bf{P}}^n)$ 可得到 $({bf{R}}_1,{cal B}_1,{bf{P}}_1)$ 加上前 $k-1$ 維空間 $({{bf{R}}}^{k-1},{cal B}^{k-1})$ 到第 $k$ 個空間 $({bf{R}}_k,{cal B}_k)$ 的轉移概率族 $lambda_k$ （ $k=2,3,...,n$ ）。

於是，讓 $n$ 取遍正整數，得到了 $({bf{R}}_1,{cal B}_1,{bf{P}}_1)$ 以及 $lambda_k$ （ $k=2,3,...$ ）。

根據Tulcea定理，即：可數個可測空間 $(E_i,{cal E}_i)$ （ $iin {bf{N}}$ ）中，賦予底空間以測度 $(E_1,{cal E}_1,mathbb mu_1)$ ，再賦予前 $k-1$ 維空間到第 $k$ 個空間的轉移測度族 $lambda_k$ ，則可以唯一確定乘積空間 ${(E^{{bf{N}}},{cal E}^{{bf{N}}})}$ 的測度 ${mu}^{{bf{N}}}$ 。

於是我們得到由 $({bf{R}}_1,{cal B}_1,{bf{P}}_1)$ 以及 $lambda_k$ ，可以唯一確定可數維乘積空間 ${({bf{R}}^T,{cal B}^T)}$ 上的概率測度 ${bf{P}}^{T}$ ，並可驗證 ${bf{P}}^{T}$ 與 ${bf{P}}^n$ 相容。

（2）當 $T$ 是不可數集時，怎麼確定 ${({bf{R}}^T,{cal B}^T)}$ 上的概率測度 ${bf{P}}^{T}$ 呢？

由最一開始 ${({bf{R}}^T,{cal B}^T)}$ 的定義中，我們給過一個引理： ${cal B}^T=bigcup_{T_csubset T}{{B^{T_c}times{bf{R}}^{Tverb$$T_c}}}$ 。於是對任意 $B^Tin{cal B}^T$ ， $B^T$ 總可以表示為某個 $B^{T_c}times{bf{R}}^{Tverb$$T_c}$ ，其中 $T_c$ 為 $T$ 中的某個可數子指標集， $B^{T_c}in{cal B}^{T_c}$ 。

這樣就好定義 ${bf{P}}^{T}(B^T)$ （從而也就定義 ${bf{P}}^{T}$ ）了：

由（1）的結論，我們可以唯一確定可數維乘積空間 $({bf{R}}^{T_c},{cal B}^{T_c})$ 上的概率測度 ${bf{P}}^{T_c}$ ，從而我們定義 ${bf{P}}^{T}(B^T):={bf{P}}^{T_c}(B^{T_c})$ 。

於是，也就確定了總的無窮維乘積空間 ${({bf{R}}^T,{cal B}^T)}$ 上的概率測度 ${bf{P}}^{T}$ ，並且 ${bf{P}}^{T}$ 與 ${bf{P}}^{T_N}$ 是相容的。

最終結論

總結一下我們最終的答案：滿足相容條件的隨機場是存在的。或者說，「hold」住這個隨機場的概率空間是存在的。

註：根據以上分析我們可以得到推論，滿足相容條件的隨機過程是存在的，這也是我們今後最常考慮的概率學中的對象。