【線性代數】為什麼矩陣求逆行列變換不能混用

一. 初等行變換求逆

其原理是基於下式（塊矩陣乘法）：

(1)

由於 可以表示為若干個初等矩陣的乘積，比如，

左乘初等矩陣相當於對矩陣實施相應行變換，故(1)式相當於對 同時實施一系列行變換，當 變為 時， 恰好變為

若既施行變換，又實施列變換，相當於

首先 是 階，與 並不可乘，即使變成 階讓它可乘，矩陣乘法也不滿足交換律，即 是不能隨便移到 左邊來的，也就是說對 的拆分都不一定對，也就不能保證 能變成 .

二. 初等列變換求逆

只用初等列變換求矩陣的逆也是可以的，原理是：

(2)

同樣， 可以拆成若干初等矩陣的乘積，右乘初等矩陣相當於對矩陣實施相應的列變換。

故(2)式相當於，對 實施一系列的列變換，當 變成 時， 恰好變成 .

註：以上是單獨求 , 是可以總可以找到同階的 來配合（拼接）: 是將 和 橫向拼接， 是將 和 縱向拼接。

三. 初等變換求解矩陣方程

上述原理稍作改動，就可以用於求解矩陣方程。

1. 若是求解矩陣方程 , 即求 ：

相當於對 實施一系列的初等行變換，當 變為 時， 恰好變為

2. 若是求解矩陣 ，即求 ：

相當於對 實施一系列的初等列變換，當 變為 時， 恰好變為 .

註： 滿足矩陣方程的 、 恰好可以這樣拼接。

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