怎樣證明抽象函數 f(xy) = f(x)f(y) 是冪函數？

01-29

證明:
對於x和y的一切正值滿足方程
f(xy)=f(x)f(y)

的唯一不恆等於零的連續函數f(x)是冪函數。

謝邀. 先把問題重新說一遍. $f$ 是定義在 $mathbb R^+$ 上的函數，滿足 $f(xy)=f(x)f(y)$ . 證明在何種條件下，可以導出 $f(x)=x^k$ 對某個 $k$ 成立.

首先不妨假設 $f$ 不恆為0，然後可以證明 $f$ 在任意一點處都不會為0，另外注意到 $f(x)=f(sqrt x)^2$ ，因此 $f(x)>0$ 恆成立.

然後令 $g(x)=ln f(e^x)$ ，則 $g$ 為定義在整個實數上的函數，並且滿足

$g(x)+g(y)=ln[f(e^x)f(e^y)]=ln f(e^{x+y})=g(x+y)$

我們熟知，對於 $mathbb R$ 上滿足 $g(x+y)=g(x)+g(y)$ 的函數 $g$ ，如果 $g$ 是連續可測局部有界的話，就能夠推出 $g(x)=ax$ 對某個常數 $a$ 成立，從而在 $f$ 滿足相應的條件下，就能夠推出 $f(x)=x^k$ 對某個 $k$ 成立.

p.s.這裡選 $mathbb R^+$ 做定義域是純粹為了討論的方便，在整個實數上討論也是要先在正實數上算再考慮 $f(-1)$ 的值，如果要求0處的連續性的話，對 $k$ 也要有要求.

連續性什麼的都不給？

假定函數性質足夠好……

兩邊求導

yf(xy)=f(x)f(y)

除以原等式

yf(xy)/f(xy)=f(x)/f(x)

令x=1，把y換成x

xf(x)/f(x)=f(1)/f(1)=常數K

令f(x)=y

xdy/dx/y=K

dy/y=Kdx/x

兩邊積分

lny=Klnx

y=x^K

吉米多維奇習題，函數方程部分有。

固定x，對y從0到1積分，左邊的做個變數替換，x就會跑到積分上限上去，由此可見f（x）可導。f（x）可導那麼怎麼做都可以了。事實上，只要假定f勒貝格可積即可

對於高中生來說背過那幾個常用的即可對於大學生不是數學專業的看自己的興趣吧對於數學專業的應該掌握

有理數的稠密性。