矩陣乘法為什麼那樣定義？不要用結果現象當作原因來回答！?

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緣由來自，昨天在看可汗學院里的矩陣乘法，視頻里說到(字幕)，這是對矩陣乘法的人為定義，你完全可以使用其他方法，但是我們建議你使用這種方法。

這是一個很有意思的問題。從我的個人理解上來說，它可能涉及到更高深的東西（張量），但是我盡量用簡單的語言來回答。

首先，從一個數 $xin mathbb R$ ，即一個標量，開始思考。這個數所在空間 $mathbb R$ 上的線性映射

$f(x)colon mathbb R o mathbb R$ 應該是怎麼樣的呢？很顯然，它只能表示為 $f(x)=ax,,ain mathbb R$ .（證明方法先考慮f(1), 然後利用齊次性。）也就是說，在實數上的所有線性映射都是 $ax$ 的形式。並且兩個線性映射 $f_1=a_1x,,f_2=a_2x$ 的複合是 $f_2circ f_1=a_2a_1x$ .

現在讓我們走到考慮更高維的空間 $mathbb R^n$ 。那麼在這個空間上的線性映射，更準確地說是線性函數 $f(x)colon mathbb R^n o mathbb R$ 又應該是怎樣的呢？里斯表示定理告訴我們， $f(x)=acdot x$ ，其中這裡的 $cdot$ 表示內積。如果我們寫成線性代數中的通常形式，那就是

$(a_1,,dots,,a_n)cdot(x_1,,dots,,x_n)^{T},$

即傳說中「的一行乘以一列」。既然如此，如果我們考慮線性映射 $f(x)colon mathbb R^n o mathbb R^n$ 呢？

根據定義，如果我們將 $f(x)colon mathbb R^n o mathbb R^n$ 寫成分量形式 $f(x)=left(f_1(x),,dots,,f_n(x) ight)$ ，那麼每個分量都是一個線性函數。根據上面的理論，我們知道 $f(x)=Acdot x$ ，其中

A的每一行是向量 $a_i$ ，並且它和 $x$ 的運算是內積運算。我們就稱這樣的 $A$ 為矩陣，並且 $A$ 與 $x$ 的乘法運算就是傳說中的「一行乘以一列」。【注意這裡的乘法是有順序的】

現在我們就來看矩陣的乘法運算。我們考慮兩個線性映射 $f_1=A_1cdot x,,f_2=A_2cdot x$ 的複合。顯然它等於 $A_1cdot(A_2cdot x)$ . 如果我們期待運算具有結合律的話，那就是 $A_1cdot(A_2cdot x)=(A_1cdot A_2)cdot x$ . 從而我們得到了矩陣乘法的定義，也就是傳說中的「一行乘以一列」。（讀者可親自驗證，即將 $x$ 取成 $mathbb R^n$ 空間中的基向量。）

當然為了敘述方便，上面的線性映射都是從 $mathbb R^n$ 到 $mathbb R^n$ 的，即矩陣均為方陣。如果線性映射是從任意 $mathbb R^n$ 到 $mathbb R^m$ ，我們也可以進行同樣的方法研究。我想這就是矩陣乘法的來源之一。當然我們還可以從線性變換，而不是用映射的複合入手，思路相似。在此不作贅述。