兩根長度 1 的線段完全落入單位正方形內，求相交概率？

01-30

進一步地，將線段改為曲線段，什麼樣的形狀使這個概率最大？

12.1 - 01:35更。不知道有人關注否，晚上失眠我好像整出了正確值： pi-3

第一張圖是在得出「概率密度=S陰影/S方型」之後的計算過程，詳細版附在後面。

最後那個積分是靠電腦積出來的，結果嚇了一跳：0.1415926……應該沒有這種玩笑

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普通數學角度，先寫點大致的思路。線段的中點必定在圖中的窄星型D區域。

隨便取第一條線段的中點O，發現經過O的線段始終被限定在圖示陰影面積中。那麼：如果和第二條線段相交，交點只能在陰影部分，不可能在空白區。不妨理解為陰影部分為交點的集合。

則對於O點，發生交合的概率=S陰影/S方型

接下來是概率密度函數。關於O點而言，建系。

由於對稱性，只考慮第一象限即可。求出邊界坐標，計算空白部分的圓心角，計算面積，得到P(o),即f(x,y)，後對其在D區域上積分。

為方便起見，將單位長度全部變為2。

以下計算實現過程：

這個積分需要計算機幫助：

就是 pi-3

至於最後什麼類型的曲線，我猜是個圓。周長為一的兩個圓放到這個方形里，感覺相交概率挺大的。

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首先幾何概型本就有很多爭議性，這道題肯定得不出絕對正確的答案！

參見貝特朗悖論

就這樣，希望超等數學能給出嚴密的解答。

知乎win10客戶端怎麼這麼難用。。

哎呀最近真的煩，事情多，聖誕節放假抽空再繼續吧

用MATLAB算了一下 @淮漠的積分

代碼部分如下：

clear all N = 1e4; Delta = 1/N; x = Delta:Delta:1; y = Delta:Delta:1; [X, Y] = meshgrid(x,y); size(X) size(Y)


F = atan((1-Y)./sqrt(1-(1-Y).^2)) - atan(sqrt(1-(1-X).^2)./(1-X));

F = ones(size(X));

Fp = F .* ((X-1).^2 + (Y-1).^2 &>=1);

% surf(X,Y,Fp)

P = 8* sum(sum(Fp))* Delta^2;

得到所給函數在所給區域的圖像如下：

得到概率值如下：

這個結果與 @惠飛須澤胡桃模擬得出的結論不符

@淮漠這個演算法的問題在於，假設了第一根線段的中點O和兩根線段的交點C（如果存在的話）的位置是兩個相互獨立且在區域內均勻分布的隨機變數，但這顯然是不正確的。

事實上，幾何概型的歧義在於，人們往往通過不準確的定義（比如畫個圖）來定義隨機變數，而這樣得到的隨機變數的概率密度函數（PDF）是不精確的。比如 @淮漠所提及的悖論，事實上在那三種情形下，「弦中點的位置」這一隨機變數的PDF是不一樣的，所以導致了最後的結論有差別。

比如這個問題里，交點的位置雖然只能落在那四個小扇形里，但是位於不同位置的概率是不一樣的，所以對於一個確定的O，線段相交的概率比「S陰影/S方形」這個表達複雜得多。

在這個問題里，我們有理由通過如下假設消除這個歧義:

每次投出一個線段，我們視其為對三個一維連續隨機變數的一個實驗：

XM：該線段中點的橫坐標

YM：該線段中點的縱坐標

Θ：該線段的方向

這三個隨機變數相互獨立，且其PDF具有如下形式：

XM在[0,1]上均勻分布

YM在[0,1]上均勻分布

Θ在[0,π)上均勻分布

這樣的假設是符合現實經驗的。

事實上，我們完全可以有其他假設（比如XM和YM不是互相獨立的，而是滿足(XM,YM)的聯合概率密度函數（Jiont PDF）在某一區域內取值均勻）

凡是這類型的假設，都可以看出，兩條線段的交點不是均勻分布的。

@惠飛須澤胡桃的模擬也能夠看出來，線段交點的位置明顯分布不均勻

（今天忙，下班再更。。。有純數學計算哦）

還是繼續之前的假設

定義6個隨機變數及其PDF：

$X_1 = left{ 線段1中點的橫坐標 ight}sim Uleft[ 0,1 ight]\ Y_1 = left{ 線段1中點的縱坐標 ight}sim Uleft[ 0,1 ight]\ X_2 = left{ 線段2中點的橫坐標 ight}sim Uleft[ 0,1 ight]\ Y_2 = left{ 線段2中點的縱坐標 ight}sim Uleft[ 0,1 ight]\ Theta_1 = left{ 線段1與X軸正方向的夾角 ight}sim Uleft[ 0,pi ight)\ Theta_2 = left{ 線段2與X軸正方向的夾角 ight}sim Uleft[ 0,pi ight)$

其中U[a,b]表示在[a,b]上均勻分布

定義3個事件：

$A:left{ 線段1完全落在正方形內 ight}\ B:left{ 線段2完全落在正方形內 ight}\ C:left{線段1與線段2相交 ight}$

則我們所求的概率可以寫成：

$Pleft{ C|A,B ight}\ =frac{Pleft{ C,A,B ight}}{Pleft{ A,B ight}}\ =frac{Pleft{ C,A,B ight}}{Pleft{ A ight} imes Pleft{ B ight}}$

由於上述6個隨機變數互相獨立，我們能夠將上面的概率寫成如下形式：

$frac{Pleft{ C,A,B ight}}{Pleft{ A ight} imes Pleft{ B ight}}\ =frac{int_{0}^{pi}Pleft( Theta_1 = heta_1 ight)Pleft( C,A,B | Theta_1 = heta_1 ight)d heta_1}{Pleft( A ight)Pleft( B ight)}\ =frac{int_{0}^{pi}int_{0}^{pi}Pleft( Theta_1 = heta_1 ight)Pleft( Theta_2 = heta_2 ight)Pleft( C,A,B | Theta_1 = heta_1, Theta_2 = heta_2 ight)d heta_1 d heta_2}{Pleft( A ight)Pleft( B ight)}\ =frac{int_{0}^{pi}int_{0}^{pi}Pleft( Theta_1 = heta_1 ight)Pleft( Theta_2 = heta_2 ight)Pleft( C,A,B | Theta_1 = heta_1, Theta_2 = heta_2 ight)d heta_1 d heta_2} {int_{0}^{pi}Pleft( Theta_1 = heta_1 ight)Pleft( A |Theta_1 = heta_1 ight)d heta_1cdot int_{0}^{pi}Pleft( Theta_2 = heta_2 ight)Pleft( B |Theta_2 = heta_2 ight)d heta_2}$

在線段角度固定的條件下，顯而易見，事件A和B可以表達如下：

$Pleft( A|Theta_1= heta_1 ight)\ =Pleft{ X_1inleft[ frac{1}{2}left|sin heta_1 ight|,1- frac{1}{2}left|sin heta_1 ight| ight] ,Y_1inleft[ frac{1}{2}left|cos heta_1 ight|,1- frac{1}{2}left|cos heta_1 ight| ight] ight}\ =Pleft{ X_1inleft[ frac{1}{2}left|sin heta_1 ight|,1- frac{1}{2}left|sin heta_1 ight| ight] ight}cdot Pleft{Y_1inleft[ frac{1}{2}left|cos heta_1 ight|,1- frac{1}{2}left|cos heta_1 ight| ight] ight}\ =left( 1-left|sin heta_1 ight| ight)cdot left( 1-left|cos heta_1 ight| ight)\ Pleft( B|Theta_2= heta_2 ight)=left( 1-left|sin heta_2 ight| ight)cdot left( 1-left|cos heta_2 ight| ight)$

下面我們研究兩條線段均固定角度的條件下，事件（C,A,B）的表達方法（以θ1和θ2均小於90°為例）

由上面的分析知道，此時事件A和B的發生可以寫成為隨機變數X和Y的某種條件，因此嘗試將事件C的發生寫成為X和Y滿足的表達式：

注意到，對於兩個固定的角度θ1和θ2，以及一個固定的線段1的中點(X1=x1,Y1=y1)，兩條線段相交等價於第二條線段的中點落在如下圖所示的平行四邊形邊上或內部：

類似的，兩條相交線段，若對於固定的線段2的中點，那麼線段1的中點也落在以(X2=x2,Y2=y2)為中心，邊的傾角為θ1和θ2，邊長為1的平行四邊形內部。

也即，兩個線段的中點應在某一個邊的傾角為θ1和θ2，邊長為1/2的平行四邊形內部（*）

（下面繼續)

容易找到向量集合e={e1,e2}，使得以e為基建立直角坐標系，正方形的四個點坐標為

(0,0) (0,1) (1,1) (1,0)

此時兩個基向量的值為：

$e_1=left( 0,1 ight)\ e_2=left( 1,0 ight)$

考慮如下的坐標系變換：

找到新的向量集合e={e1,e2}，滿足：

$E=EP\ 其中E=[e_1 e_2],E=[e_1 e_2]$

下面計算變換矩陣P：

$e=left{ e_1,e_2 ight}=left{ left( 1,0 ight) ,left( 0,1 ight) ight}\ e=left{ e_1,e_2 ight}=left{ e_1cos heta_1+e_2sin heta_1,e_1cos heta_2+e_2sin heta_2 ight}=left{ left( cos heta_1,sin heta_1 ight) ,left( cos heta_2,sin heta_2 ight) ight}\ 即 E=egin{bmatrix} e_1e_2end{bmatrix},E=egin{bmatrix} e_1cos heta_1+e_2sin heta_1e_1cos heta_2+e_2sin heta_2 end{bmatrix}\ 顯然，我們取P=egin{bmatrix} cos heta_1cos heta_2\sin heta_1sin heta_2end{bmatrix}可以滿足條件$

由基變換與坐標變換的關係，我們可以得到同一個點在這兩個坐標系下的表示的關係：

$點X=egin{pmatrix}x\y end{pmatrix}E=egin{pmatrix}x\y end{pmatrix}E\則 egin{pmatrix}x\y end{pmatrix}=P^{-1}egin{pmatrix}x\y end{pmatrix}\ 其中P^{-1}=frac{1}{cos heta_1sin heta_2-sin heta_1cos heta_2}egin{bmatrix} sin heta_2-cos heta_2\-sin heta_1cos heta_1 end{bmatrix}$

為了表達簡便，我們設P逆的四個元素分別為a,b,c,d，那麼坐標系變換可以如下表示：

$x=ax+by\ y=cx+dy$

而經過這個坐標變換，（*）所表述的條件可以寫成：

$C|Theta_1,Theta_2=left{left| x_1-x_2 ight|<frac{1}{2},left| y_1-y_2 ight|<frac{1}{2} ight}\ =left{left|aleft( x_1-x_2 ight)+bleft(y_1-y_2 ight) ight|<frac{1}{2},left|cleft( x_1-x_2 ight)+dleft(y_1-y_2 ight) ight|<frac{1}{2} ight}\ =left{aleft( x_1-x_2 ight)+bleft(y_1-y_2 ight) <frac{1}{2},\aleft( x_1-x_2 ight)+bleft(y_1-y_2 ight) >-frac{1}{2},\cleft( x_1-x_2 ight)+dleft(y_1-y_2 ight)<frac{1}{2},\cleft( x_1-x_2 ight)+dleft(y_1-y_2 ight) >-frac{1}{2} ight}$

考慮X1，X2，Y1，Y2四個隨機變數的取值構成的空間，結合上面給出的對C，A，B三個事件的表達式，我們知道：

$Pleft{C,A,B|Theta_1,Theta_2 ight}= Pleft{\aleft( x_1-x_2 ight)+bleft(y_1-y_2 ight) <frac{1}{2},\aleft( x_1-x_2 ight)+bleft(y_1-y_2 ight) >-frac{1}{2},\cleft( x_1-x_2 ight)+dleft(y_1-y_2 ight)<frac{1}{2},\cleft( x_1-x_2 ight)+dleft(y_1-y_2 ight) >-frac{1}{2},\ x_1>frac{1}{2}left| cos heta_1 ight|,\ x_1<1-frac{1}{2}left| cos heta_1 ight|,\ y_1>frac{1}{2}left| sin heta_1 ight|,\ y_1<1-frac{1}{2}left| sin heta_1 ight|,\ x_2>frac{1}{2}left| cos heta_2 ight|,\ x_2<1-frac{1}{2}left| cos heta_2 ight|,\ y_2>frac{1}{2}left| sin heta_2 ight|,\ y_2<1-frac{1}{2}left| sin heta_2 ight|, \ ight}$