根號pi和正態分布的關係？

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通俗易懂哦

正態分布有許多有趣的特徵，其中一個有趣的特徵是：n個獨立同分布的正態分布變數組成的樣本，在n維空間中是各向同性的。比如說，我們先隨機生成一個標準正態分布X，再隨機生成一個標準正態分布Y，然後把(X, Y)畫在一個二維直角坐標系裡面，你會發現得到的圖像在各個方向上都是均勻分布的。原因在於

$C expleft(-frac{x^2 + y^2}{2} ight)$

這個表達式裡面，指數項上的 $x^2 + y^2 = r^2$ ，因此概率密度只和到原點的距離有關，而跟方向無關。這裡我們先不說前面那個歸一化係數的值到底是多少。

這個事情就很有意思了，既然跟方向無關，那我們就把到原點距離相同的這些概率密度相等的部分累積起來，也就是計算這個點到原點的距離的分布，這個分布叫做瑞利分布。因為到原點距離為r的一周的周長是2πr，所以可以得到這個分布的概率密度應該是：

$2pi C r expleft( -frac{r^2}{2} ight)$

利用積分歸一化這個概率密度是很簡單的，因為

$int_{0}^{+infty} 2pi C r expleft( -frac{r^2}{2} ight) dr = int_{0}^{+infty}2pi C exp( -frac{r^2}{2}) dfrac{r^2}{2} = 2pi C left.left(- exp(-frac{r^2}{2}) ight) ight|_0^{+infty} = 2pi C$

所以就有 $C = frac{1}{2pi}$

簡單來說，高斯分布裡面的那個2π，是從二維高斯分布的圓對稱性來的。