QFT_A.Zee_Sec1.1-6

02-01

我最開始學的是Peskin & Schroeder的書，陷入計算和細節中覺得學不通透。Weinberg的書也很棒，不過據作者說是寫給和他一樣的學生看的，我只好評論的首章關於歷史回溯很好看=_=。

以前看到過一個比喻，說爬山有兩種爬法，其一坐直升機先俯瞰一下全貌，講一講這座山的地理、氣候、生物、故事，再落地開爬；其二是直接衝到某座不知名的山下：哦，我們開始爬！

Zee的書是第一種，他很物理。很物理。理解上的許多妙處會在下面具體提到。內容上也較注重和各領域的前沿連接，習題也會讓讀者去參一些paper之類。

但是許多細節部分的講述是欠缺的，也是他刻意欠缺的。偶爾也難免有非記號性的錯誤，這時候參Peskin的書比較好。

綜上，因為高屋建瓴所以適合初學，同時因為高屋建瓴所以不適合初學。最好的解決方法大概是在學習的不同階段多讀幾遍，我也刻意讀得無比慢。非初學的同學如果很忙的話，不妨只去看看優酷上他在UCSB講課的視頻也不失為一種選擇，加起來也才四個小時。

好了，附上簡版目錄。

Part1 Motivation and Foundation

Part2 Dirac and the Spinor

Part3 Renormalization and Gauge Invariance

Part4 Symmetry and Symmetry Breaking

Part5 Field Theory and Collective Phenomena

Part6 Filed Theory and Condensed Matter

Part7 Grand Unification

Part9 Gravity and Beyond

今天我整理Part1的 1-6章，過兩天慎修學長會更新7-11章。如有錯漏請務必不留情面一針見血地指出。

Part1 Motivation and Foundation

1.1 Who needs it?

1.2 Path Integral Formulation of QuantumnPhysics

1.3 From Mattress to Field

1.4 From Field to Force

1.5 Coulomb and Newton: Repulsion andnattraction

1.6 Inverse Square Law and the Floatingn3-Brane

1.7 Feynman Diagrams

1.8 Quantizing Canonically and Disturbingnthe Vacuum

1.9 Symmetry

1.10 Field Theory in Curved Spacetime

1.11 Field Theory Redux

1.1 Who needs it?

首先，QFT是試圖結合量子力學和狹義相對論的理論（String是試圖結合QM和GR的理論）。Na?ve看來，量子力學不確定性原理說短時間內，大幅能量波動；狹義相對論說，能量可以轉質量；兩者一結合，粒子就可以產生和湮滅了，這件事是QFT最大的特徵。」It』s the matter of birth, life, and death that requires thendevelopment of a new subject in physics, that of quantum field theory.」

Tony舉了一個經典2DnMattress的例子詮釋產生和湮滅。一旦加入非線性項，理論變為非簡諧。量子化後波包的行為如同粒子，那麼非線性項的加入意味著粒子的couple, scatter, produce, decay等。

這兩句話我想有必要全錄：」Itnstruck me as limiting that even after some 75 years, the whole subject of qftnremains rooted in this harmonic paradigm, to use a dreadfully pretentious word.nWe have not been able to get away from the basic notions of oscillations andnwave packets. Indeed, string theory, the heir to qft, is still firmly foundednon this harmonic paradigm.」

Tony專門騰出一節講CondnMat裡面為什麼會用到QFT，不詳述。

QM：0+1 QFT：n+m Random Matrix： 0+0 String：1+1

1.2 Path Integral Formulation of QuantumnPhysics

直接介紹路徑積分而不是正則量子化方法，我很欣賞。

路徑積分的思想其實很簡單，無非是從QM的疊加原理出發，多打幾個洞，多加幾個屏。」What if I put in a third screen, a fourth screen, eh? What if I putnin a screen and drill an infinite number of holes in it so that the screen isnno longer here?」說說簡單，但當時讓你去想恐怕是不易。

（想起以前看到的段子，說現在做科研的人分為幾類，見到蘋果從樹上掉下來砸頭上，第一類說，哦，蘋果會從樹上掉下來！第二類說，哦，果實會掉下來！第三類說，哦，萬有引力！我覺得這個比喻妙極了。）

接下去，按照正常介紹路徑積分的辦法，考慮從位置q_I到位置q_F的傳播，把T切成N段，把<q_F|e^-iHT|q_I>寫成矩陣元連乘形式。從簡單做起，先考慮自由粒子，H=H(p)，插入一組|p>，由於是H(p)的本徵態，所以就可以把它從算符形式寫成數字，再把<p|q>什麼的寫出來對p積個分就成了。這個積分嘛，就是到處都很重要的Gaussian Integral. 然後從離散走向連續，引入路徑積分符號D。在有勢作用的時候，會發現積分號裡面，e的指數變成i*S。

然後Tony試圖用I和F而非q_I，q_F標記初態和末態，就是推廣了唄。用I和F表示初態末態之後，我們把I和F都取基態0，得到配分函數。但是他在這裡出現了一個數學問題，亂用高斯積分，所以就不提了。（12頁第7式）但是他用這種做法後面argue出了正確的結論，證明了他是大牛。

本章附錄講解高斯型積分，順便定義平均值」<>」和Wick contraction。這些玩意兒之所以在附錄里，是因為它們是相關的（廢話）。<>的值是在高斯型積分上不斷去微分得到的，而微分對象的不同組合造就了wick theorem。不寫公式好像難以表述，我就不表述了。

我覺得這段附錄還是蠻經典的，雖然因為太經典了，他之前應用的時候硬要把問題往上面套而出了錯。」Believe it or not, a significant fraction of the theoreticalnphysics literature consists of performing variations and elaborations of thisnbasic Gaussian integral.」

1.3 FromnMattress to Field

不能寫式子簡直耍流氓，我大概理理思路。

第一章里舉例用了2D Mattress，這一章又從它出發。首先把mattress推到連續性極限去，利用剛剛引入的語言。這時候把q啊什麼的都換成Fai，求和換積分，再做一點兒rescaling，就寫出標量場的路徑積分形式。值得一提的在於，rescaling的過程中，發現Lorentz invraice和光速c自然出現。

然後做個運動方程就出來了Klein-Gordon.

當然，不一定要從Mattress出發，從對稱性出發也是很棒的角度，這一點可參之前關於Kardar的Notes，在知乎里（網址請聯絡我）。

在強調了真空里可能有各種貓膩之後，Tony說讓我們先忽視這些貓膩，看的時候只看所有態相對於真空態的情況。然後我們disturb the vacuum，即某處產生一個粒子，讓它傳播一會兒，再掐死它。

這個過程形象上可以用Mattress去理解它：站在墊子上跳上跳下，對應於在勢V上加入一項J(x) * Fai(x). 這個J是source function，描述了這個墊子是怎麼被disturb的。墊子在跳來跳去，對應著波包到處亂跑，實際上就是粒子的產生與湮滅。（不行了我從寫這一段開始就笑到了現在，跳來跳去蛤蛤蛤）

實際上，拉式量里有V之後，就基本解不出來了。所以我們扔掉V，只看動能和J的項。有J的配分函數相當於比自由粒子時候再乘一個e^( i*W(J) )，W是關於J(x)D(x-y)J(y)的積分。

現在求D(x-y)。用高斯型積分的矩陣擴展形式，發現，-(partial^2+m^2)這個微分算符扮演了e指數上矩陣的角色，然後D(x-y) 呢，是它的逆。矩陣和逆乘起來是單位元，正對應著微分算符乘以傳播子是Delta函數。蛤蛤蛤。求它的方法是轉到動量空間去，可以秒寫出表達式，然後做一些迴路積分就行了。解出來就是熟悉的1/(k^2-m^2+i*Epsilon)乘一些theta函數什麼的那個形式。

如果覺得我的整理又蠢又亂的話，就忘掉它，只記住一句：All particles are excitations in some field。

1.4 From Fieldnto Particle to Force

因為墊子反正可以隨便跳，所以J(x)的形式可以隨便寫，這裡寫一個J=J1+J2，這兩部分局域在1和2兩個地方。剛剛說了W(J)是J(x)D(x-y)J(y)的積分，轉到動量空間去。於是W包括的nontrivial的部分，是J1*J2和J2*J1。（這裡的*不是乘號，是共軛）。寫出來發現當且僅當J1(k)和J2(k) overlap得很厲害的時候，W(J)才會比較大。同時，分母接近零時有resonance，這時k^2=m^2。這個表達式又正是一個粒子的能量動量關係，蛤蛤蛤蛤。看到粒子了吧！

接下去進行From particle tonforce的部分。現在把J1(x)和J2(x)的形式固定成Delta函數（沒錯就是我的頭像！）還是只考慮J1*J2和J2*J1，有了delta函數之後W的積分就好辦多了。又回憶一下，<0|e^(-iHT)|0>=e^(-iET)，所以建立W和E之間的關係就可以得到E。得出來是負的，也就是說兩個delta函數型的source，降低了能量。In order words, the two sources attract each other by virtue ofntheir coupling to the field Fai.

（其實回憶量子力學裡面的例子，就和exchangenforce很像啦。）

然後Tony順便講了一下為什麼牛頓和庫侖定律是1/r^2，他的argument是dimensional analysis，後詳述。

1.5 Coulomb andnNewton: Repulsion and Attraction

考慮電磁場，為簡化處理先看massivenspin 1 meson。這一章處理髮散的方法和其他地方不同，是先給光子一個質量，最後讓質量趨於零，所以上一句說masive。這種處理方法不是沒有問題，但暫時還不相干。於是Lagrangian可以寫出來，作用量可以寫出來，為了我們偉大的高斯積分，再寫出一個[(微分算符)* D]=Delta的式子來，轉進動量空間，瞬間得到了偉大的光子傳播子（實際上這時候還有質量，應稱為massive vector meson）。有了D，W的表達式就可以寫了，還是一樣建立W和E的關係，順手得到正能量！蛤蛤所以repulsion就出來了。

Tony的小節名字都略欠扁（不，他說這話不欠扁，我說才欠）他的這一節標題是」Bypassing Maxwell」，下一節是」Bypassing Einstein」，而且多處自high，被朋友評論像sheldon.

「Having done electromagnetism in two minutes flat let me now dongravity」. 現在考慮有質量、自旋為2的meson場。分析分析極化，考慮一下洛侖茲不變性，傳播子就出來了，然後還是帶進W裡面去，看看符號，發現masses ATTRACT.

好了，庫侖牛頓和愛因斯坦都被秒解釋了。現在回到正經臉。回憶剛剛的講述，spin 0 的粒子相吸引，spin 1的排斥，spin 2 的吸引，它們又分別對應hadronic strong interaction, electromagnetic interaction andngravitational interaction.

「The world results from a subtle interplay among spin 0, 1, and 2.」

1.6 InversenSquare Law and the Floating 3-Brane

剛剛提到牛頓和庫侖1/r^2的這個冪次是用一個量綱分析argue出來的，一步步追溯它的源頭髮現主貢獻來自k^(-2)，而它來自原空間的Partial Fai的二次方，而這個二次形式又是由於旋轉不變性推出來的。好了，一切都源自對稱性。

接下去Tony從3+1D發揮到了(n+3)+1D，類似的分析得到那裡的引力的V啊，是一個r^-(1+n)的形式(r<<R時成立，R是這些多餘坐標的特徵尺度)。r>>R時候還是正常的。

因為引力作用極弱，牛頓定律還沒在實驗室尺度上較準確地被測試過，所以做理論的人還是可以瞎說：R可能比基本粒子要大很多，同時比我們日常生活尺度還是小很多。這件事還是挺激動人心的。接下去他討論了普朗克質量，習題中引了S.Nussinov和R.Schrock 1999年在PRD上的一篇文。