牛頓萬有引力定律

02-02

第一部分：泊松方程

考慮早在中學就已經熟悉了的萬有引力定律和牛頓第二定律：

萬有引力定律： $F(r)=frac{GMm}{r^{2} }$ ，

牛頓第二定律： $F=ma$ ，下面，我們對二者進行一定程度的「變形」。

1，萬有引力定律：

類比靜電場的庫侖定律與高斯定律，萬有引力定律可以寫成： $oint_{S}^{} gcdot ndS=-4pi GM$ ，

考慮到： $oint_{S}^{} gcdot ndS=int_{V}^{} (Dcdot g)dV$ ， $M=int_{V}^{} rho (x,y,z)dV$ ，其中， $g=frac{F(r)}{m}$ ， $rho$ 為密度， $D$ 為哈密頓運算元。

將其代入上式可得： $Delta phi =4pi rho$ ，即為引力場的泊松方程。

2，牛頓第二定律：

考慮除了萬有引力之外不受其他力的粒子， $F_{i} =-frac{partial phi }{partial x^{i} }$ ， $a=frac{d^{2} x^{i} }{dt^{2} }$ ，所以可得牛頓第二定律可寫為： $frac{d^{2}x_{i} }{dt^{2} }=- frac{partial phi }{partial x^{i} }$ ， $i=1,2,3$ .

第二部分：牛頓引力的幾何表述

1，絕對時間：

牛頓的時空觀是非常「直觀」的，下面我們把它用4維流形 $M$ 表述出來。

四維流形 $M$ 上存在一個光滑函數， $t:Mrightarrow R^{1}$ ，可見它就是絕對時間。對 $forall pin M$ ，存在一個等 $t$ 面 $Sigma _{t}$ ，它是 $M$ 中的超曲面，容易發現，這裡的超曲面 $Sigma _{t}$ ，即為我們熟知的三維歐幾里得空間 $R^{3}$ 。

2，萬有引力與測地線：

除了引力之外不受其他力的粒子稱為「自由粒子」，容易發現，自由粒子的軌跡就是流形 $M$ 中的測地線，下面我們嘗試將牛頓引力幾何化。

質點只受引力作用的牛頓第二定律： $frac{d^{2}x^{i} }{dt^{2} }+ frac{partial phi }{partial x^{i} } =0$ ， $i=1,2,3$ ，

四維流形 $M$ 的測地線方程： $frac{d^{2}x^{mu } }{dt^{2} } +Gamma _{nu sigma }^{mu } frac{dx^{nu } }{dt} frac{dx^{sigma } }{dt} =0$ ， $mu =0,1,2,3$ ，

對比以上兩式可以發現，如果我們要將牛頓引力幾何化，可以做一下假設：

$Gamma _{00}^{i} =frac{partial phi }{partial x^{i} }$ ，其他的 $Gamma _{nu sigma }^{mu } =0$ ， $mu =0,1,2,3$ ，下面我們嘗試用它來計算牛頓時空（流形 $M$ ）上聯絡 $D_{a}$ 對應的黎曼曲率張量與里奇張量：

$R_{mu nu sigma }^{rho } =Gamma _{mu sigma ,nu }^{rho } -Gamma _{nu sigma ,mu }^{rho } +Gamma _{sigma mu }^{lambda } Gamma _{nu lambda }^{rho }- Gamma _{sigma nu }^{lambda } Gamma _{mu lambda }^{rho }$ ， $R_{mu sigma }= R_{mu nu sigma }^{nu }$ ，將我們的假設帶入兩式可得：

黎曼曲率張量： $R_{0i0}^{j} =-R_{i00}^{j} =frac{partial ^{2}phi }{partial x^{i} partial x^{j} }$ ，其他的 $R_{mu nu sigma }^{rho } =0$ ，

里奇張量： $R_{00}=Delta phi =4pi Grho$ ，其他的 $R_{mu nu } =0$ ，

第三部分：牛頓時空的幾何結構

1，由以上討論容易發現，牛頓時空並不平直，但其超曲面 $Sigma _{t}$ （三維歐氏空間）是平直的。

2，流形 $M$ 上的聯絡 $D_{a}$ 可以在 $Sigma _{t}$ 上誘導出聯絡 $partial _{a}$ ，其相應的克里斯托費爾符號 $Gamma _{jk}^{i}=0$ ， $i,j,k=1,2,3$ ，且 $Sigma _{t}$ 上的度規為歐式度規 $delta _{ab}$ ，