力學（五）—哈密頓力學準備工作

02-03

回顧上一節的內容，我們引入了下面的新的量：

動量： $[{p_k} = frac{{partial L}}{{partial {{dot q}_k}}}]$ ，拉郎朗日方程可以被看做 $p_k$ 的演化方程： $[{dot p_k} = frac{d}{{dt}}frac{{partial L}}{{partial {{dot q}_k}}} = frac{{partial L}}{{partial {q_k}}}]$ 。

自然的，我們有一個考慮：能否把自變數 $[{dot q_1},{dot q_2}...{dot q_k}]$ 中的一個或者多個換成相應的動量，得出運動方程呢？速度換成動量坐標的思想，推動著我們分析以下問題：

系統有兩個廣義坐標 $[q,xi ]$ ，系統的朗格朗日量已經給定： $[L = L(q,dot q,xi ,dot xi )]$

考慮一個變換 $[p = frac{{partial L}}{{partial dot q}}]$ ,那麼新的坐標組是： $[q,p,xi ,dot xi ]$ （意思就是：只換坐標 $dot q$ 而不換坐標 $dot xi$ ）

由於變換涉及到拉格朗日量的一階導數，我們不妨先取拉格朗日量的全微分： $[dL(q,dot q,xi ,dot xi ,t) = frac{{partial L}}{{partial q}}dq + frac{{partial L}}{{partial dot q}}ddot q + frac{{partial L}}{{partial xi }}dxi + frac{{partial L}}{{partial dot xi }}ddot xi + frac{{partial L}}{{partial t}}dt]$

利用動量的定義和其演化方程 $[p = frac{{partial L}}{{partial dot q}},dot p = frac{{partial L}}{{partial q}}]$ 帶入上面的式子：

$[dL(q,dot q,xi ,dot xi ,t) = dot pdq + pddot q + frac{{partial L}}{{partial xi }}dxi + frac{{partial L}}{{partial dot xi }}ddot xi + frac{{partial L}}{{partial t}}dt]$

我們最終的目的是構造一個函數 $R$ ，他的全微分不含 $ddot q$ ，那麼就用： $[d(pdot q) = pddot q + dot qdp]$ 換掉上面的 $pddot q$ 就可以了：

$[d(L - pdot q) = dot pdq - dot qdp + frac{{partial L}}{{partial xi }}dxi + frac{{partial L}}{{partial dot xi }}ddot xi + frac{{partial L}}{{partial t}}dt]$ ，看右邊的全微分中已經去除了 $dot q$ ，這說明左邊被求微分函數就是我們要的，出於某些原因，我們選擇： $[R = pdot q - L]$ ，那麼

$[dR(q,p,xi ,dot xi,t ) = - dot pdq + dot qdp - frac{{partial L}}{{partial xi }}dxi - frac{{partial L}}{{partial dot xi }}ddot xi - frac{{partial L}}{{partial t}}dt]$

諸個變數的運動方程也是可以從上面的式子得出的：

$[dot q = frac{{partial R}}{{partial p}},dot p = - frac{{partial R}}{{partial q}},frac{{partial L}}{{partial xi }} = - frac{{partial R}}{{partial xi }},frac{{partial L}}{{partial dot xi }} = - frac{{partial R}}{{partial dot xi }}]$

這樣選取的函數 $R$ 就是羅斯函數。

下節預告：作為羅斯函數的一種特殊情況，哈密頓函數對應的運動方程更加簡單，甚至可以用一種代數結構來描述。