經濟金融系列學習:伊藤引理和看漲期權

總結一下上一篇文章的結論,我們之前用的選擇一個特殊的函數,是y=x2,那麼如果是用一個普式的函數的話我們用伊藤公式就能得到:

如果是y關於x的函數:

如果是y關於x,t的函數,會有:

就是說如果他是多元函數,那後邊就直接給換成偏導數,都是保留到一階以及最近的二階,但是這裡為什麼我們dt2我們不保留,因為最終他已經是二階了,我們最終一定會約掉,以及多元函數還會出現dxdt,但是dx已經是二階了dx=(dt dw)*dt.

好,上邊的我們的數學知識已經鋪墊完了,現在我們開始鋪墊一些跟真實世界相關的東西

長期以來,人們是沒有辦法去衡量一個權力的價值的,當然到現在為止,還是有很多權力是無法衡量的,比如說你現在有10塊錢給我文章打賞的權利,但是你並不care這樣的權利,表示價格是等於0,像這樣的權利實在是太抽象,這樣大家都沒有辦法去衡量,但是比較精確的權利,即使能夠無限精確的去預測他的所有情況下所有回報的權利,但是在很長時間內也是無法衡量的.一個典型的就是看漲期權(Call)

看漲期權,看漲就是你要把他叫過來,還有一個叫看跌(Put),就是能有多遠就滾多遠,那看漲期權,一份Call是什麼意思呢?

首先在這裡我們先說明我們定義的是歐式期權,因為相對來說比較簡單,還有美式期權會比較複雜一點.歐式期權是這樣的,首先,期權是一份合同,約定了你在某一個特定的時間,假設這個時間為T,你在T的時刻有機會行駛一份權利,

這份權利是以K的價格買入一份股票,之所以你看漲是因為你現在以K價格買入一份股

票,如果他以後一旦漲的很順,比如說看漲漲到300美元一份,而你的成本價只有30美元的話,意味著只要能夠一直漲,你就能夠賺到錢,所以叫做看漲期權,那看漲期權我們來看一下他在T時刻的收益曲線:

這裡橫軸是股價,縱軸是收益,現在我們給定一個具體的數字,比如說我們這份歐式看漲期權是約定在0時刻可以50美元的價格買入一份股票,而且因為他是一份看漲期權,你作為一份合同.需要跟某個人簽合同,所以到T時刻,一旦你行使權力的話,就一定會有人賣給你,不用擔心找不到買家,因為買家早就已經寫在合同上面了,那現在你有的是一份權利,那我們來看一下股價在不同的情況下的話你會怎麼玩,首先股價如果在這時候在T時刻股價是100元的話,這時候你的收益是50元,因為你花50塊錢就能夠得到100塊,然後你就馬上在市場上就能賣掉了,如果這時候你的股價在T+t時刻是120美元,這時候你依舊會行使權力對不對,那這時候你的收益是70,這時候你不斷的去模擬這樣的一些點,連起來你會發現這是一條斜率為1的線,

總之這時候你會超過你的行權價格K多少你就會賺多少,對吧,但是這時候如果股票價格是30元,你一定想把這份合同撕了,你不會去行使權力,在很多地方權利和義務是對等的,因為不是有一句話叫做:沒有義務的權利,這個就是沒有義務的權利,你可以行使權力,但是你不需要承擔義務,那看漲期權當股票的價格低於你的行權價格的時候,你就不會賣,這時候你的收益其實就是這樣一條橫的線(綠)

,所以你的收益曲線,在一個確定的時間內,收益曲線是確定的精確,他是一個被描述的非常好的權利,他完全是一個數學上的東西,因為我們知道我們把股價隨時間的變化,而股價隨時間變化也是可以用數學來表示的,我們現在來表示一下:

股價比如說現在是20美元,你T比如說是20年以後,然後現在比如財報的發布,重大的事件的發布,然後各種事情影響到他,然後在時間T的時候,我們要說在時間T的時候,你要選擇行權與否,如果你這一個時間裡邊,股價會隨機遊走,如果是按照某個模型的話,理論上來說你是能夠精確地預測她有多少的概率會到達30元的股價,多少概率到底50元的股價,有多少概率幾乎跌破10等等,當然,股價不會跌破0,就是說如果有這個數學的模型足夠精確地話,理論上你就能得到這個概率,而你知道在T時刻,你賺錢以多少概率賺多少錢的話,這是一個非常明確的數學對象,所以理論上來說他應該在此刻這份合同值多少錢是能夠算出來的,因為你也知道期望,你也知道方差,你也知道所有的風險,你知道所有的分布(即使不是高斯分布),但是這個分布在很長一段時間內是算不出來的,這是一件的確很大跌眼鏡的事情,因為他的數學足夠的複雜,複雜到我們剛才只是做了一個簡單的鋪墊,現在我們接著開始算:

我們的目標是什麼?我們的最終目標是算出歐式看漲期權這一份合同在簽期權時候的價格,現在明確了我們的任務了,現在開始吧:

順便再去明確一下什麼是看跌期權,看跌期權就是如果我跌的話就能夠賺錢,所以得他的收益函數會是一個倒著的,斜率是-1,歐式是-1,但是因為你的看跌期權不能跌破0美元,所以總會有一個界限,不像看漲期權,沒有一個收益的上限

所以說期權就是一份權利,並且我們知道他的收益概率的話,我們是可以算出他的收益分布的,同樣的,他的計算在Black-Scholes方程出現之前是無法計算的,因為數學上存在挑戰.

而更多的挑戰,我們留在下一期,最精彩的部分即將到來,敬請期待.