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數學條件概率概率理性思考

從有 5假15真鈔票中抽兩張，將其中一張檢驗發現是假鈔，兩張都是假鈔的概率?

02-06

這是有關條件概率的一道題。
百度出來的答案都是2/17。
但是，我這樣想有哪裡不對？如下:

①既然已經確定是一張假，那麼，也就是說還剩下15真和4假，那麼只要確保下一張是一張假鈔就可以了，那麼概率應該是4/19。
②從20選2共190種可能。分為三大類，一類兩張都是真105/190，二類兩張都是假10/190，三類一假一真75/190。那麼我先抽出來兩張然後再在兩張中抽一張它是假的概率P(A)=75/190*1/2+10/190=95/380
P(B)兩張都假=10/190 P(AB)=P(B)
P(B/A)=4/19

想不出來，感覺裡面有問題，思維混亂了

我覺得4/19才是正確答案，因為可以考慮一下2/17的計算方法

（1）在2/17的計算中，事件是這樣定義的

$A_{1}=$ 「抽出的兩張中至少有一張假鈔」

$B=$ 「抽出的兩張都是假鈔」

$P(A_{1} )=frac{ C_{5}^{2}+C_{5}^{1}*C_{15}^{1} }{ C_{20}^{2} }=frac{17}{38}$

$P(A_{1}B)=P(B)=frac{ C_{5}^{2} }{ C_{20}^{2} } =frac{1}{19}$

$P(B|A_{1}) = frac{P(A_{1}B)}{P(A_{1})} =frac{2}{17}$

（2）而事實上，我們還可以這樣來定義事件

$A_{2}=$ 「在抽出的兩張中，再抽出一張檢驗，發現是假鈔」

$B=$ 「抽出的兩張都是假鈔」

$P(A_{2} )=frac{ C_{5}^{2}*1+C_{5}^{1}*C_{15}^{1}*frac{1}{2} }{ C_{20}^{2} }=frac{1}{4}$

$P(A_{2}B)=P(B)=frac{ C_{5}^{2} }{ C_{20}^{2} } =frac{1}{19}$

$P(B|A_{2}) = frac{P(A_{2}B)}{P(A_{2})} =frac{4}{19}$

這樣算出的結果就是4/19了

（3）下面解釋一下為什麼 $A_{1}$ 與 $A_{2}$ 兩個事件是不一樣的。

首先 $A_{2} ightarrow A_{1}$ ，即「在抽出的兩張中，再抽出一張檢驗，發現是假鈔」一定可以推理出「抽出的兩張中至少有一張假鈔」。

但是 $A_{1} imes ightarrow A_{2}$ ，因為在「抽出的兩張中至少有一張假鈔」的情況下，你取一張進行檢驗，可能會發生檢驗出生真鈔的情況。

最後，從語文的角度考慮， $A_{2}$ 的定義應該說更符合題目的表述。

CNT（假真） = 5 * 15 = 75

CNT（假假） = 5 * 4 = 20

P（假假）= 20 / (20 + 75) = 4 / 19

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