布朗運動與伊藤同構

02-08

記 $(Omega, mathcal{F}, mathbb{P})$ 為一給定的概率空間, $[a, b]subset mathbb{R}$ . 為了定義布朗運動, 首先先定義什麼叫Gaussian random vector.

定義1：對於一個向量值的隨機變數 $X: Omega ightarrowmathbb{R}^{n}$ ，記 $X=(X_{1}, ... , X_{n})$ ，如果存在一個向量 $min mathbb{R}^{n}$ ，和一個對稱非負定 $n imes n$ 矩陣 $R=(R_{ij})$ ，使得對於 $forall lambdain mathbb{R}^{n}$ , 都有

$mathbf{E} { m exp}(i(X, lambda))={ m exp}(i(m, lambda) - (Rlambda, lambda)/2)$ ,

則我們稱 $X$ 是一個Gaussian random vector.

一個Gaussian random vector $X$ 是被 $m$ 和 $R$ 唯一確定的，記 $Xsim N(m, R)$ . 這裡 $m$ 是mean value, $R$ 是covariance matrix. 事實上，我們有：

$mathbf{E}X=m$ ， $R_{ij}=mathbf{E}(X_{i}-m_{i})(X_{j}-m_{j})$ .

定義2：對於一個隨機過程 $X_{t}, tin [a, b]$ , 如果對於任何的 $aleq t_{1}leq t_{2}leq ... leq t_{k-1}, leq t_{k}leq b$ , $(X_{t_{1}}, X_{t_{2}}, ... , X_{t_{k}})$ 都是一個Gaussian random vector, 我們就稱 $X_{t}$ 為一個Gaussian process. 此時，我們稱 $m_{t}=mathbf{E}X_{t}$ 為 $X_{t}$ 的mean value function，稱 $R(t, s)={ m cov}(X_{t}, X_{s})$ 為 $X_{t}$ 的covariance function.

定義3：一個 $[0, +infty)$ 上的隨機過程 $w_{t}$ 被稱作為（一維）Wiener process(Brownian motion)，如果：

(1) $w_{t}$ 是 $[0, +infty)$ 上的Gaussian process,

(2) $forall t, sgeq 0$ , $mathbf{E}w_{t}=0$ , $mathbf{E}w_{t}w_{s} = swedge t$ , 這裡 $swedge t$ 是指 $s$ 與 $t$ 的最小值,

(3) 對於幾乎每個 $omegain Omega$ , $w_{0}(omega)=0$ ,

(4) 對於幾乎每個 $omegain Omega$ ，軌道 $t ightarrow w_{t}(omega)$ 都是連續的.

由這個定義容易得出， $mathbf{E}(w_{t}-w_{s})^{2}=|t-s|$ .

事實上，布朗運動有一個等價的定義如下：

定義4：

(1) 對於幾乎每個 $omegain Omega$ , $w_{0}(omega)=0$ ,

(2) $forall s, t in [0, +infty)$ , $w_{t}-w_{s}sim N(0, |t-s|)$ ,

(3) 對於 $forall 0leq t_{1}leq t_{2}leq... leq t_{k}$ , $w_{t_{1}}$ , $w_{t_{2}}-w_{t_{1}}$ , ... , $w_{t_{k}}-w_{t_{k-1}}$ 都是獨立的.

(4) 對於幾乎每個 $omegain Omega$ ，軌道 $t ightarrow w_{t}(omega)$ 都是連續的.

Remark: 布朗運動的等價定義還有很多種，比如，還可以通過heat kernel來定義一個一般黎曼流形上的布朗運動，這裡就不作討論了。

伊藤同構

現在考慮這樣的問題，假如在時間 $t_{0}$ 時投入資金為 $x(t_{0})$ , 在時間 $t_{0} + h$ 時，投入的資金變為 $x(t_{0})(w_{t_{0} + h} - w_{t_{0}})$ . 如果有 $0leq a = t_{0}leq t_{1}leq ... leq t_{n}=b< +infty$ , 在時間 $t_{n} = b$ 時，得到的資金就是

$sum_{i=0}^{n-1}x(t_{i})[w_{t_{i+1}} - w_{t_{i}})$ .

更一般地，對於一個隨機過程 $x: [a, b] imes Omega ightarrow mathbb{R}$ , $[a, b]subset mathbb{R}^{+}$ , 給定一個區間 $[a, b]$ 的分劃 $a=t_{0} leq t_{1} leq ... leq t_{n}=b$ , 會得到一個部分和 $sum_{i=0}^{n-1}x(t_{i})(w_{t_{i+1}} - w_{t_{i}})$ ，對分劃取極限，會得到一個極限，記這個極限為 $int_{a}^{b}x{ m d}w$ , 即所謂的伊藤積分.

值得注意的是，對於幾乎每個 $omegain Omega$ , $int_{a}^{b}x(t){ m d}w_{t}(omega)$ 並不是通常意義的Riemann-Stieltjes積分，因為，對於幾乎每個 $omegain Omega$ , 軌道 $t ightarrow w_{t}(omega)$ 都不是有界變差函數，伊藤積分指的是在每個小區間 $[t_{i}, t_{i+1}]$ 上取左端點值 $x(t_{i})$ 求得的極限值, 如果取中點值 $x(frac{t_{i} + t_{i+1}}{2})$ 的話, 同樣方法求得的積分值被稱作為Stratonovich積分.

當然，以上對於伊藤積分的被積函數的要求並不嚴格，事實上，被積函數需要滿足如下3個條件：

(a) 隨機過程 $x: ([a, b] imes Omega, mathcal{M}([a, b]) imes mathcal{F}) ightarrow (mathbb{R}, mathcal{M}(mathbb{R}))$ 是可測的. 這裡 $mathcal{M}$ 指的是Lebesgue可測集， $mathcal{M}([a, b]) imes mathcal{F}$ 指的是集合 $[a, b] imes Omega$ 上的乘積 $sigma-$ 代數.

(b) 積分 $int_{a}^{b}int_{Omega}x^{2}(t, omega){ m d}mathbb{P}{ m d}t< +infty$ .

(c) 布朗運動 $w_{t}(omega)$ , 有一個自然的filtration $mathcal{F}_{t}=sigma(w(s), sleq t)$ , 即，由所有的隨機變數 $sigma(s), sleq t$ 生成的 $sigma-$ 代數. 記 $Gamma(t)=[0, t] imes Omega$ , 我們要求 $x(t, omega)$ 滿足： $xGamma(t)$ 是 $mathcal{M}([a, t]) imes mathcal{F}_{t}$ 可測的. 此時，我們稱 $x(t, omega)$ 是progressively measurable.

定義5：集合 $Ain mathcal{M}([a, b]) imes mathcal{F}$ 被稱作是progressively measurable如果 $Acap Gamma(t)in mathcal{M}([a, t]) imes mathcal{F}_{t}$ , $forall tgeq 0$ .

記 $mathcal{I}={Ain mathcal{M}([a, b]) imes mathcal{F}: Acap Gamma(t)in mathcal{M}([a, t]) imes mathcal{F}_{t}, forall tgeq 0}$ .

不難證明， $mathcal{I}$ 是一個 $sigma-$ 代數. 所以， $L^{2}([a, b] imes Omega, mathcal{I},m imes mathbb{P})$ 是 $L^{2}([a, b] imes Omega, mathcal{M}([a, b]) imes mathcal{F},m imes mathbb{P})$ 的一個Hilbert子空間. 這裡 $m$ 指的是 $[a, b]$

上的Lebesgue測度. 簡記 $L^{2}([a, b] imes Omega, mathcal{I},m imes mathbb{P})$ 為 $L^{2}_{p}([a, b])$ .

所以，伊藤積分是一個運算元 $int_{a}^{b}: L^{2}_{p}([a, b]) ightarrow L^{2}(Omega, mathcal{F}, mathbb{P})$ . 事實上，這個運算元 $int_{a}^{b}$ ，是從隨機過程空間 $L^{2}_{p}([a, b])$ 到隨機變數空間 $L^{2}(Omega, mathcal{F}, mathbb{P})$ 的一個等距線性變換，這個等距線性變換被稱作為伊藤同構： $int_{a}^{b}: L^{2}_{p}([a, b])cong L^{2}(Omega, mathcal{F}, mathbb{P})$ .

Reference:

[1] Adam Bobrowski, Cambridge University Press, Aug 11, 2005, Functional Analysis for Probability and Stochastic Process

[2] N. V. Krylov, American Mathematical Society, 2002, Introduction to the Theory of Random Process