如何從地震動響應推導出地震反應譜曲線，規範中的設計用反應譜如何理解及使用？

02-14

【吉4802】

一、地震反應譜（earthquake response spectrum）

地震反應譜是單自由度彈性系統對於某個實際地震加速度的最大反應（可以是加速度、速度和位移）和體系的自振特徵（自振周期或頻率和阻尼比）之間的函數關係。

在給定的地震輸入下，不同固有周期的地層或結構物將有不同的振動位移反應，這種反應的時程曲線是由多種頻率成分組成的振動曲線叫地震反應譜，取對應於不同固有周期的位移時程曲線的最大值作為縱坐標，取所對應的固有的周期為橫坐標，由此繪成曲線，供抗震設計中選用在設計周期下的相應振動幅值。

二、從地震動響應推導地震反應譜曲線

反應譜的計算方法涉及到時域分析方法和頻域分析方法，時域分析方法中的Duhamel積分是目前公認精度最高的方法。

結構動力學中，一般將確定一個振動體系彈性位移的獨立參數的個數稱為該體系的自由度，如果只需要一個獨立參數就可確定其彈性變形位置，該體系即為單自由度體系。在結構抗震分析中，水塔、單層廠房通常只考慮質點作單向水平振動，因而可以看作單自由度彈性體系。地震的破壞主要是由水平晃動引起的，所以主要討論在水平運動分量的作用下，單自由度彈性體系的動力反應。

取質點m為隔離體，經過結構動力學分析計算可得

地震作用下質點的運動方程：

$mx^{} (t)+cx^{}( t)+kxleft( t ight) =-mx_{g}^{} left( t ight)$

$x_{g} left( t ight)$ ---------地面水平位移；

$xleft( t ight)$ ---------質點相對於地面的位移反應

將方程進一步簡化，設

$omega =sqrt{frac{k}{m} }$ $xi =frac{c}{2omega m} =frac{c}{c_{r} }$

$omega$ ---------無阻尼自振圓頻率，簡稱自振頻率；

$xi$ ---------阻尼係數 $c$ 與臨界阻尼係數 $c_{r}$ 的比值，簡稱阻尼比。

簡化後的方程為：

$x^{} left( t ight) +2xi omega x^{} left( t ight) +omega ^{2} xleft( t ight) =-x_{g}^{} left( t ight)$

對於該方程，直接求解可得單自由度體系的地震反應，由常微分方程理論可知其解包含兩部分：一個是微分方程對應的齊次方程的同通解；另一個是微分方程的特解。由動力學理論可知前者代表自由振動，後者代表強迫振動。

由杜哈曼積分可求得非齊次方程的特解，由於體系在地震波作用之前處於靜止狀態，其初始條件 $xleft( 0 ight) =x^{} left( 0 ight) =0$ ,齊次解為0，所以下式為方程的通解：

$xleft( t ight) =int_{0}^{t} dxleft( t ight) =-frac{1}{omega ^{} } int_{0}^{t} x_{g}^{} left( au ight) e^{-xi omega left( t- au ight) } sinomega ^{} left( t- au ight) d au$

計算可得，

最大絕對加速度 $S_{a}=frac{2pi }{T} left| int_{0}^{t} x_{g}^{} left( au ight) e^{-xifrac{2pi }{T}left( t- au ight) }sinfrac{2pi }{T} left( t- au ight) d au ight| _{max}$

由 $S_{a} =omega S_{v} =omega ^{2} S_{d}$ ,可以分別用matlab等工具畫出對應的位移、速度和加速度反應譜。

《建築抗震規範》不是直接通過 $S_{a}$ 確定地震作用，而是間接確定地震係數 $k$ 和動力係數 $eta$

$F=mS_{a} =mgleft( frac{left| x_{g}^{} ight|_{max} }{g} ight) left( frac{S_{a} }{left| x_{g}^{} ight| _{max} } ight) =Gketa$

$eta =frac{S_{a} }{left| x_{g}^{} ight| _{max} }$

$left| x_{g}^{} ight| _{max}$ --------地震時地面運動最大加速度；

$G$ ----------結構重量， $G=mg$ 。

動力係數 $eta$ 與地面運動加速度記錄、結構自振周期 $T$ 和結構阻尼 $xi$ 有關。選取一條地震加速度紀錄， $x_{g}^{} left( au ight)$ 是已知的，在給定一個阻尼比，對於不同周期的單質點體系，利用上式可求出相應的動力係數 $eta$ ，把 $eta$ 按周期大小的次序排列起來，得到 $eta -T$ 關係曲線，這就是動力係數反應譜。

三、設計用反應譜

☆地震動是一個隨機過程，即使在同一地點具有相同的地面運動強度，兩次地震中所記錄的地面運動加速度時程曲線也有很大差別。

☆採用不同的地面運動加速度時程曲線可以算得不同的反應曲線，雖然它們之間存在某些共同特性，但也存在很多差異。

☆ 在進行工程結構抗震設計時，無法預測該結構將會遭遇到怎樣的地震地面運動作用。僅用某一次地震記錄的一條加速度時程曲線所得到的反應譜曲線作為設計依據，來計算地震作用是不恰當的。而且依據一條地面運動加速度時程曲線所繪製的反應譜曲線波動起伏頻繁，也很難在實際抗震設計中應用。

☆因此，必須根據強震時在同一類場地上得到的地面運動加速度時程，分別計算出其反應譜曲線；然後將這些譜曲線進行統計分析，求出其中最有代表性的平均反應譜曲線，再對其進行平滑化處理，使其能用幾個簡單的數學表達式來表示其變化，作為抗震設計的依據，稱這樣的譜曲線為設計反應譜。

1.根據《建築抗震設計規範》(GB 50011-2010)，採用的是地震影響係數 $alpha$ 譜：

地震係數 $k$ 和動力係數 $eta$ 分別是表示地面振動強烈程度和結構地震反應大小的兩個參數，為方便起見把它們的乘積用一個係數表示，取

$alpha =keta =frac{S_{a} }{g}$

$alpha$ 稱為地震影響係數，它是單質點彈性體系在地震最大反應加速度與重力加速度的比值,即 $F=alpha G$ .也可以理解為作用在單質點上的水平地震作用與結構自重的比值。

$alpha$ 譜曲線，建築結構阻尼比應取0.05，阻尼調整係數取1.0.

分為四個區段，形狀參數應符合下列規定：

⑴直線上升段，周期小於0.1秒的區段。

⑵ 水平段，自0.1秒至特徵周期區段，應取最大值( $alpha _{max}$ )。

⑶曲線下降段，自特徵周期至5倍特徵周期區段，衰減指數應取0.9。

⑷直線下降段，自5倍特徵周期至6秒區段，下降斜率調整係數應取0.02。

上圖公式中，

$alpha _{max}$ ——地震影響係數最大值，與設防概率和地震烈度有關；

$gamma$ ——衰減指數；

$eta _{1}$ ——直線下降段的下降斜率調整係數；

$eta _{2}$ ——阻尼調整係數；

$T$ ——結構自振周期，s；

$T_{g}$ ——特徵周期，與場地類型及場地距震中距離有關。

地震影響係數最大值和特徵周期，可以查下表得到

當建築結構的阻尼比不等於0.05時，地震影響係數曲線的阻尼調整係數和形狀參數應符合下列規定：

①衰減指數 $gamma$ ： $gamma =0.9+frac{0.05-xi }{0.3+6xi }$

②直線下降的下降斜率調整係數 $eta _{1}$ ： $eta _{1} =0.02+frac{0.05-xi }{4+32xi }$ ， $eta _{1}$ ﹤0時取0

③阻尼調整係數 $eta _{2}$ ： $eta _{2} =1+frac{0.05-xi }{0.08+1.6xi }$ ，當 $eta _{2}$ ﹤0.55時取0.55。

2.根據《公路工程抗震規範》(JTG B02-2013),採用設計加速度反應譜：

阻尼比為0.05的水平設計加速度反應譜中，任意時點的水平設計加速度反應譜值 $S$ 可由下式確定：

$T$ ﹤0.1s， $S=S_{max} left( 5.5T+0.45 ight)$ ；

0.1s ≦ $T$ ≦ $T_{g}$ , $S=S_{max}$ ；

$T$ ＞ $T_{g}$ ， $S=S_{max}cdot frac{T_{g} }{T}$

$T_{g}$ ——特徵周期，s

$T$ ——結構自振周期，s

$S_{max}$ ——水平設計加速度反應譜最大值。

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水平設計加速度反應譜最大值：

$S_{max} =2.25C_{i} C_{s} C_{d} A_{h}$

$C_{i}$ ——橋樑抗震重要性修正係數，查表取值；

$C_{s}$ ——場地係數，查表取值；

$C_{d}$ ——阻尼調整係數，據規定確定；

$A_{h}$ ——水平向設計基本地震動峰值加速度。

當結構阻尼比不等於0.05時，阻尼調整係數 $C_{d}$ 應按照下式計算：

$C_{d} =1+frac{0.05-xi }{0.06+1.7xi }$ ≧ $0.55$

參考文獻：

1.百度百科

2.《工程荷載與可靠度設計原理》重慶大學出版社

3.《建築抗震設計規範》(GB 50011-2010)

4.《公路工程抗震規範》(JTG B02-2013)

【東2244】前來答題

一、地震反應譜的概念

在給定的地震輸入下，不同固有周期的地層或結構物將有不同的振動位移反應，這種反應的時程曲線是由多種頻率成分組成的振動曲線叫地震反應譜，取對應於不同固有周期的位移時程曲線的最大值作為縱坐標，取所對應的固有的周期為橫坐標，由此繪成曲線，供抗震設計中選用在設計周期下的相應振動幅值。

二、地震反應譜在結構地震反應分析理論發展中的作用

1940年，美國比奧特（M.A.Biot）教授通過對強地震動記錄的研究，首先提出反應譜這一概念，為抗震設計理論進人一個新的發展階段奠定了基礎，20世紀504代初，美網豪斯納（G.W.Housener）等人發展了這一理論，並在美國加州抗震設計規範中首先採用反覆譜概念作為抗震設計理論，以取代靜力法。這一理論至今仍然是我國和世界上許多國家工程結構設計規範中地震作用計算的理論基礎。

反應譜理論考慮了結構的動力特性與地震動特性之間的動力關係，並保持了原有的靜力理論的簡單形式。按照反應譜理論，單自由度彈性體系的結構物所受的最大地震基底剪力或地震作用為

$F=F_{Ek} =kcdot eta βcdot G$

式中 $G$ ——結構的重力荷載代表值

$k$ ——地震係數

$eta$ ——動力係數，與結構自振周期和阻尼比有關

因而上式表明：結構地震作用的大小不僅與地震強度有關，還與結構的動力特性有關。這也是地震作用區別於一般作用（荷載）的主要特徵。

隨著震害經驗的積累和研究的不斷深人，人們逐步認識到建築場地（包括表層土的動力特性和覆蓋層厚度）、震級和震中距對反應譜的影響。考慮到這些因素，一般抗震規範中都規定了不同的反應譜形狀。利用振型分解原理，可有效地將上述概念用於多質點體系的抗震計算，這就是抗震設計規範中給出的振型分解反應譜法。它以結構自由振動的N個振型為廠義坐標，將多質點體系的振動分解成n個獨立的等效單質點體系的振動，然後利用反應譜概念求出各個（或前幾個）振型的地震作用，並按一定的法則進行組合，即可求出結構總的地震作用。

三、從地震動響應推導出地震反應譜曲線

對於單自由度彈性體系，通常把慣性力看作一種反映地震對結構體系影響的等效作用，即把動態作用轉化為靜態作用，並用其最大值來對結構進行抗震驗算。

結構在地震持續過程中經受的最大地震作用為

$F =left| Fleft(t ight) ight| _{max}=mleft| x^{} (t )+x_{g}^{}(t) ight| _{max } =mS_{a} =mg cdot frac{S_{a} }{left| x_{g}^{}(t) ight| _{max } } cdot frac{left|x_{g}^{}(t) ight| _{max} }{g} =kcdot eta cdot G$

式中 $G$ ——集中於質點處的重力荷載代表值

$g$ ——重力加速度

$k$ ——地震係數，是地面運動最大加速度（絕對值）與重力加速度g之比

$P$ ——動力係數，單質點彈性體系在地震作用下最大反應加速度與地面運動最大加速度之比

上式就是計算水平地震作用F的基本公式。其關鍵在於求出地震係數k和動力係數β

1.地震係數k

由式 $k=frac{left| x_{g}^{} (t) ight|_{max}}{g}$ 可知，地震係數k實際上是以重力加速度為單位的地震動峰值加速度。顯然，地面加速度 $x_{g}^{} (t)$ 愈大，地震的影響就愈強烈，即地震烈度愈大。所以，地震係數 $k$ 與地震烈度有關，它們都是表示地震強烈程度的參數。例如，在一次地震中某處強震加速度記錄中的最大值，就是這次地震在該處的k值（以重力加速度為單位）；同時，也可根據該處地表的破壞現象、建築物的破壞程度等，按地震烈度表評定該處的宏觀烈度 $I$ 。根據許多這樣的資料，就可以用統計分析的方法確定 $I-k$ 的對應關係，烈度每增加一度， $k$ 值增加一倍。

需要指出，烈度是通過宏觀震害調查判斷的，而 $k$ 值中的 $left| x_{g}^{} (t) ight| _{max}$ 是從地震記錄中獲得的物理量，宏觀調查結果和實測物理量之間既有聯繫又有區別。由於地震是一種複雜的地質現象，造成結構破壞的因素不僅取決於地面運動的最大加速度，還取決於地震動的頻譜特徵和持續時間，有時會出現 $left| x_{g}^{} (t) ight| _{max}$ 值較大，但由於持續時間很短、烈度不高、震害不重的現象。

2.動力係數β

由式 $eta =frac{S_{a} }{left| x_{g}^{} (t) ight| _{max} }$ 可知，動力係數 $eta$ 是無量綱的，主要反映結構的動力效應，是質點最大加速度反應 $S_{a}$ 相對於地面最大加速度 $left| x_{g}^{} (t) ight| _{max}$ 的放大倍數。動力係數P的表達式還可寫成

$eta =frac{S_{a} }{left| x_{g}^{}(t) ight| _{max} } =frac{2pi }{T} cdot frac{1}{left| x_{g}^{} (t) ight| _{max} }left| int_{0}^{t} x_{g}^{}( au )e^{-zeta frac{2pi }{T}(t- au ) }sinfrac{2pi }{T}(t- au ) d au ight| _{max}$

上式表明，動力係數β與地面運動加速度時程曲線 $x_{g}^{} (t)$ 的特徵、結構的自振周期T以及阻尼比ζ有關，當給定地面加速度時程曲線 $x_{g}^{} (t)$ 和阻尼比ζ時，由上式可以得到一條 $eta -T$ 曲線，稱為動力係數反應譜曲線，由於動力係數是單質點 $m$ 最大加速度反應 $S_{a}$ 與地面運動最大加速度 $left|x_{g}^{} (t) ight| _{max}$ 之比，所以 $eta -T$ 曲線實質上是一種加速度反應譜曲線。

當結構的自振周期 $T$ 小於某一數值 $T_{g}$ 時， $eta$ 反應譜曲線將隨 $T$ 的增加急劇上升；當 $T=T_{g}$ 時，動力係數 $eta$ 達到最大值；當 $T>T_{g}$ 時，曲線波動下降。 $T_{g}$ 是對應於反應譜曲線峰值的結構自振周期，這個周期與場地土的振動卓越周期（自振周期）相符。所以，當結構的自振周期與場地土的卓越周期相等或相近時，結構的地震反應最大。這種現象與結構在動荷載作用下的共振相似，在結構抗震設計中，應使結構的自振周期遠離土層的卓越周期，以避免發生類共振現象。

3.標準反應譜

分析表明，雖然在每次地震中測得的地面加速度 $x_{g}^{} (t)$ 曲線各不相同，從外觀上看極不規律，但是根據它們繪製的動力係數反應譜聲 $eta -T$ 曲線，卻有某些共同的特徵。也就是說，不同地震的地面運動加速度時程曲線 $x_{g}^{} (t)$ 是不同的， $S_{a}$ 不具有可比性，但 $eta$ 卻具有可比性。這就給應用反應譜曲線確定水平地震作用提供了可能性。

但是，上面的加速度反應譜曲線是根據二次地震的地面加速度記錄 $x_{g}^{} (t)$ 繪製的。不同的地震記錄會有不同的反應譜曲線，雖然這些曲線具有某些共同特徵，但仍有差別。在結構抗震設計中，不可能預知建築物將遭到怎樣的地面運動，因而也就無法知道地面運動加速度 $x_{g}^{} (t)$ 的變化曲線。因此，在建築抗震設計中，只採用按某一次地震記錄 $x_{g}^{} (t)$ 繪製的反應譜曲線作為設計依據是沒有意義的。

不同地面運動記錄的統計分析表明，場地的特性、震中距的遠近對反應譜曲線有比較明顯的影響。例如，場地愈軟，震中距愈遠，曲線主峰位置愈向右移，曲線主峰也愈扁平，因此，應按場地類別、近震、遠震分別繪出反應譜曲線，然後根據統計分析，從大量的反應譜曲線中找出每種場地和近、遠震有代表性的平均反應譜曲線，作為設計用的標準反應譜曲線。

圖1 場地條件對譜曲線的影響

圖2 震級與震中距對譜曲線的影響

四、用反應譜理解使用規範中的設計

為了簡化計算，將地震係數 $k$ 和動力係數 $eta$ 以乘積 $alpha$ 表示，即 $alpha =keta$ ， $alpha$ 稱為地震影響係數。所以

$F_{Ek} =alpha G$ （式1）

$alpha =keta =frac{left| x_{g}^{} (t) ight| _{max} }{g} cdot frac{S_{a} }{left| x_{g}^{} (t) ight| _{max} } =frac{S_{a} }{g}$ （式2）

由式1可知，地震影響係數 $alpha$ 就是單質點彈性體系在地震時最大反應加速度（以重力加速度g為單位。另一方面，若將式2寫成 $alpha =F_{Ek} /G$ ，則可認為，地震影響係數實際是作用在質點上的地震作用與結構重力荷載代表值之比。

《建築抗震設計規範》GB 50011-2010就是以地震影響係數 $alpha$ 作為抗震設計參數的，其值應根據烈度、場地類別、設計地震分組以及結構的阻尼比確定。

建築結構的地震影響係數曲線分為四段，如下圖所示，各段的形狀參數和阻尼調整應符合下列要求。

（1）直線上升段，即周期小於0.1s的區段，地震影響係數按直線變化。

（2）直線水平段，即自0.1 s至特徵周期 $T_{g}$ 區段，地震影響係數應取最大值 $eta _{2}alpha _{max}$ 。

（3）曲線下降段，即自 $T_{g}$ 至5 $T_{g}$ 區段，地震影響係數應取

$alpha =(frac{T_{g}}{T} )^{gamma } eta _{2} alpha _{max}$

式中 $gamma$ ——衰減指數，應按 $gamma =0.9+frac{0.05-zeta }{0.3+6zeta }$ 確定

$zeta$ ——阻尼比，對鋼筋混凝土結構可取書 $zeta =0.05$ ，對鋼結構可取多 $zeta =0.02$ ，對鋼和鋼筋混凝土混合結構可取 $zeta =0.04$

$T_{g}$ ——特徵周期

$eta_{2}$ ——阻尼調整係數，應按 $eta _{2} =1+frac{0.05-zeta }{0.08+1.6zeta }$ 確定，並不應小於0.55

（4）直線下降段，即自5 $T_{g}$ 至6 s區段，地震影響係數應取

$alpha =[eta _{2} 0.2^{gamma } -eta _{1} (T-5T_{g} )]cdot alpha _{max}$

式中 $eta _{1}$ ——直線下降段的斜率調整係數，應按 $eta _{1} =0.02+frac{0,05-zeta }{4+32zeta }$ 確定，小於0時取0

地震影響係數曲線中一些參數的取值說明如下

1.特徵周期 $T_{g}$

特徵周期 $T_{g}$ 的值應根據建築物所在地區的地震環境確定。所謂地震環境，是指建築物所在地區及周圍可能發生地震的震源機制、震級大小、震中距遠近以及建築物所在地區的場地條件等。《中國地震動參數區劃圖》GB18306-2001附錄B《中國地震動反應譜特徵周期區劃圖》中給出相應的一般（中硬，Ⅱ類）場地的特徵周期值。在此基礎上，《建築抗震設計規範》GB 50011-2010進行了調整，用設計地震分組對應於各特徵周期分區，並將Ⅰ類場地（堅硬土和岩石場地）細分為 $I_{0}$ 類（岩石場地）和 $I_{1}$ 類（堅硬土場地），即可根據不同地區所屬的設計地震分組和場地類別確定其特徵周期。

2. $alpha _{max}$ 的取值

地震資料統計結果表明，動力係數最大值 $eta _{max}$ 與地震烈度、地震環境影響不大，《建築抗震設計規範》GB50011-2010中取 $eta _{max } =2.25$ 。將 $eta _{max} =2.25$ 與不同的 $k$ 值相乘，便得到不同設防烈度時的 $alpha _{max}$ 值。

在此基礎上，推算多遇地震烈度和罕遇地震烈度時的 $alpha _{max}$ 值。如前所述，多遇地震烈度比基本（設防）烈度平均低1.55度，罕遇地震烈度比基本（設防）地震烈度時1/2.82；罕遇地震烈度時的 $alpha _{max}$ 值分別大致取上表中相應基本（設防）地震烈度6、7、8、9度時 $alpha _{max}$ 值的2.33、2.13、1.88、1.56倍。

3.當 $T=0$ 時， $alpha =0.45alpha _{max}$

因為 $alpha =keta$ ，當 $T=0$ 時，結構為剛性體系，則其動力係數 $eta =1$ （不放大），即有 $alpha =keta =k imes 1=1$ ，而 $alpha _{max} =keta _{max}$ ，因此

$alpha =k=frac{alpha _{max} }{eta _{max} } =frac{alpha _{max} }{2.25} =0.45alpha _{max}$

參考文獻：《荷載與結構設計方法》張晉元編著天津大學出版社

百度百科

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【斌2219】

1、地震反應譜

2、地震反應譜曲線的推導

地震反應譜反映單自由度彈性系統對於某個實際地震加速度的最大反應（可以是加速度、速度和位移）和體系的自振特徵（自振周期或頻率和阻尼比）之間的函數關係。

地震時結構所受的最大水平基底剪力，即總水平地震作用為：

$F=mS_{a}=mgleft( frac{left| x_{g} ight|_{max} }{g} ight) left( frac{S_{a} }{left| x_{g} ight| _{max} } ight) =Gketa cdot cdot cdot cdot cdot cdot cdot cdot cdot left( 1 ight)$

式中， $k$ 為地震係數，動力係數 $eta$ 則是加速度反應譜 $S_{a}$ 與地震動最大加速度 $left| x_{g} ight| _{max}$ 的比值，它表示地震時結構振動加速度的放大倍數。

$eta =frac{S_{a} }{left| x_{g} ight| _{max} } =frac{2pi }{T} frac{1}{left| x_{g} ight| _{max} } int_{0}^{t}x_{g}left( au ight) e^{-xi frac{2pi }{T} left( t- au ight) } sinfrac{2pi }{T} left( t- au ight) d au |_{max} cdot cdot cdot cdot cdot cdot cdot cdot cdotleft( 2 ight)$

動力係數 $eta$ 與地面運動加速度記錄、結構自振周期 $T$ 和結構阻尼 $xi$ 有關。選取一條地震加速度記錄， $x_{g}left( au ight)$ 是已知的，再給定一個阻尼比 $xi$ ，對於不同周期的單質點體系，利用（2）式能夠算出相應的動力係數 $eta$ ，把 $eta$ 按周期大小的次序排序起來，得到 $eta-T$ 關係曲線，這就是地震反應譜曲線。

如下圖為根據1940年埃爾森特羅地震地面加速度記錄做出的 $eta -T$ 曲線，即地震反應譜曲線（ $xi =0.05$ ）。

3、地震設計反應譜

我們在抗震設計中採用的並非根據已發生地震地面運動記錄計算得到的地震反應譜。因為工程結構抗震設計需考慮的是將來發生的地震對結構造成的影響，由於地震的隨機性，即使同一地點不同時間發生的地震絕不會完全相同，因此地震反應譜也將不同。為了便於工程抗震設計，規定設計反應譜。

4、規範中如何理解和使用設計用反應譜

《建築抗震規範》按下屬方法給出了設計用反應譜：

地震係數 $k$ 和動力係數 $eta$ 分別是表示地面震動強烈程度和結構地震反應大小的兩個參數，為了簡便把它們的乘積用一個係數表示，取 $alpha =keta =frac{S_{a} }{g} cdot cdot cdot cdot cdot cdot cdot cdot left( 3 ight)$ 。

$alpha$ 為地震影響係數，它是單質點彈性體系在地震是最大反應加速度與重力加速度的比值，利用（3）式可將（1）式寫成： $F=alpha G$ 。

地震影響係數 $alpha$ 可理解為作用在單質點上的水平地震作用與結構自重 $G$ 的比值。《建築抗震規範》以地震係數 $alpha$ 作為參數，給出 $alpha$ 譜曲線作為設計用反應譜。

如下圖為設計用反應譜：

5、設計用反應譜的特點

①是一種規則化的地震反應譜，且動力係數不受地震動振幅的影響。

②與地震反應譜具有相同的性質，受到體系阻尼比，以及地震動頻譜（場地條件和震中距）的影響。

6、地震反應譜與設計用反應譜的區別

設計抗震反應譜和實際地震反應譜是不同的，實際地震反應譜能夠具體反映1次地震動過程的頻譜特性，而抗震設計反應譜是從工程設計的角度，在總體上把握具有某一類特徵的地震動特性；設計反應譜由地震烈度、場地類別因素確定。

參考文獻：

百度百科：地震反應譜

百度百科：地震設計反應譜

百度文庫：地震反應譜、設計反應譜與地震影響係數譜曲線

GB50011-2010建築抗震設計規範

【心2127】前來答題

反應譜：是在
1932 年由
M.A.Biot引入的，它作為一種實用工具被各個國家所採用來描述地面運動及其結構的效應，G.W.Housner 對地震反應譜的概念被廣泛接受起到了巨大的作用。某個反應量的峰值作為體系的固有振動周期 $T_{n}$ 或像圓頻率 $omega _{n}$ （或者循環頻率 $f_{n}$ ）那樣的相關參數的函數圖形，稱為該反應量的反應譜。

反應譜理論：結構物可以簡化為多自由度體系，多自由度體系的地震反

應可以按振型分解為多個單自由度體系反應的組合，每個單自由度體系的最大反

應可以從反應譜求得。結構物最不利的地震反應為其最大的地震反應，而與其他

動力反應參數，如達到最大值附近的次數或概率無關。

地震反應譜：地震反應譜earthquake response spectrum ，就是單自由度彈性系統對於某個實際地震加速度的最大反應（可以是加速度、速度和位移）和體系的自振特徵（自振周期或頻率和阻尼比）之間的函數關係。

地震反應譜曲線：動力係數 $eta$ 與地面運動加速度記錄的特徵、結構的自振周期以及阻尼比有關，當地面加速度記錄和阻尼比給定時，就可根據不同的 T 值算出動力係數 $eta$ ，從而得到一條曲線，這條曲線就稱為動力係數反應譜曲線，其實實質上是一種加速度反應譜曲線。

1，如何推導反應譜曲線

地震係數與地震烈度有關，都是地震強烈程度的參數，根據《中國地震動參數區劃圖》所規定的地震動峰值加速度取值，可得出抗震設防烈度與地震係數值得對應關係，地震動峰值加速度與《抗震規範》中的設計基本地震加速度相當，它是
50 年設計基準期超越概率
10%的地震加速度的設計取值。

動力係數 $eta$ 可表示為：

在抗震設計計算中，通常將頻率用自振周期表示，此時動力係數可以寫為：

動力係數 $eta$ 與地面運動加速度記錄的特徵、結構的自振周期以及阻尼比有關，當地面加速度記錄和阻尼比給定時，就可根據不同的 T 值算出動力係數 $eta$ ，從而得到反應譜曲線。如下圖所示：

2，規範中設計用反應譜的理解和使用

設計反應譜：地震動是一個隨機過程，即使在同一地點具有相同的地面運動強度，兩次地震中所記錄到的地面運動加速度時程曲線也有很大的差別，不同的加速度時程曲線對應著不同的反應譜曲線。由於地震的突發性和偶然性，無法預知建築物所在的場地會發生的地震特性，因此，在建築抗震設計中,只採用按某一次地震記錄繪製的反應譜曲線作為設計依據是沒有意義的，而且加速度反應譜曲線波動起伏頻繁，應用到實際的抗震設計中難度較大。通過對以往地震動時所記錄的地面運動進行統計分析，結果表明，有一些因素對反應譜曲線有明顯的影響。例如，場地愈軟，震中距愈遠，曲線主峰位移愈向右移，曲線主峰也愈扁平。因此，必須根據強震時在同一類場地上得到的地震動加速度時程，求出每條加速度對應的反應譜曲線；對這些曲線進行統計分析，再做標準化平滑化處理，使其能用幾個簡單的數學表達式來表示它的變化，作為抗震設計的依據，這就是設計反應譜。

我國《築抗震規範（GB50011-2010）》是以地震影響係數 $alpha$ 作為抗震設計依據的,如圖所示，根據不同的場地條件和地震環境，設計反應譜曲線分為
9條。地震影響係數 $alpha$ 為地震係數
k 和動力係數 $eta$ 的乘積，就是單質點彈性體系在地震時最大反應加速度，也是作用在質點上的地震作用與結構重力荷載代表值之比。由式可知動力係數 $eta$ 譜曲線形狀與絕對加速度反應譜 $S_{a}$ 曲線形狀是完全一致的，只是縱坐標值不同， $eta$ 譜值比 $S_{a}$ 譜值縮小了 $left| x_{g}^{} ight|$ $_{max}$ 倍；同樣地，水平地震影響係數 $alpha$ 譜值比 $S_{a}$ 譜值縮小了
g 倍，其數值應根據烈度、場地類別、設計地震分組以及結構自振周期和阻尼比確定。

在工程實踐中，尤其是對結構抗震計算具有十分重要的意義。隨強震地面運動觀測手段的發展和地震記錄的積累，證明強震地面運動中確實存在長周期成分，其周期可達10s，甚至100s。而且隨著現代文明的進步和社會經濟的高速發展，超高層建築、特大跨度橋樑等各種長周期結構的數量也隨著迅速增長,橋樑結構正朝塔高、大跨度、柔性、弱阻尼和輕質方向發展。地震動長周期成分對其影響變得不容忽視。現行的規範設計反應譜截至周期太短，如何客觀合理地估計長周期的影響,現行規範反應譜顯得力不從心。因此,長周期結構的抗震設計已經成為迫切需要解決的問題。同時，由於阻尼比是影響反應譜取值的一個重要參數，所以應根據具體情況,對反應譜進行阻尼影響的修正。

【元2144】前來答題（快採納吧，過了這個村，沒有這個店了）

一、地震反應譜定義

二、從地震動響應推導出地震反應譜曲線

結構在地震持續過程中經受的最大地震作用為

式中 $G$ ——集中於質點處的重力荷載代表值

$g$ ——重力加速度

$k$ ——地震係數，是地面運動最大加速度（絕對值）與重力加速度g之比

$P$ ——動力係數，單質點彈性體系在地震作用下最大反應加速度與地面運動最大加速度之比

上式就是計算水平地震作用F的基本公式。其關鍵在於求出地震係數k和動力係數β

1.地震係數k

2.動力係數β

3.標準反應譜

圖1 場地條件對譜曲線的影響

三，規範中的設計用反應譜的理解及使用 為了簡化計算，將地震係數 $k$ 和動力係數 $eta$ 以乘積 $alpha$ 表示，即 $alpha =keta$ ， $alpha$ 稱為地震影響係數。所以

$F_{Ek} =alpha G$ （式1）

$alpha =keta =frac{left| x_{g}^{} (t) ight| _{max} }{g} cdot frac{S_{a} }{left| x_{g}^{} (t) ight| _{max} } =frac{S_{a} }{g}$ （式2）

《建築抗震設計規範》GB 50011-2010就是以地震影響係數 $alpha$ 作為抗震設計參數的，其值應根據烈度、場地類別、設計地震分組以及結構的阻尼比確定。

建築結構的地震影響係數曲線分為四段，如下圖所示，各段的形狀參數和阻尼調整應符合下列要求。

（1）直線上升段，即周期小於0.1s的區段，地震影響係數按直線變化。

（2）直線水平段，即自0.1 s至特徵周期 $T_{g}$ 區段，地震影響係數應取最大值 $eta _{2}alpha _{max}$ 。

（3）曲線下降段，即自 $T_{g}$ 至5 $T_{g}$ 區段，地震影響係數應取

$alpha =(frac{T_{g}}{T} )^{gamma } eta _{2} alpha _{max}$

式中 $gamma$ ——衰減指數，應按 $gamma =0.9+frac{0.05-zeta }{0.3+6zeta }$ 確定

$zeta$ ——阻尼比，對鋼筋混凝土結構可取書 $zeta =0.05$ ，對鋼結構可取多 $zeta =0.02$ ，對鋼和鋼筋混凝土混合結構可取 $zeta =0.04$

$T_{g}$ ——特徵周期

$eta_{2}$ ——阻尼調整係數，應按 $eta _{2} =1+frac{0.05-zeta }{0.08+1.6zeta }$ 確定，並不應小於0.55

（4）直線下降段，即自5 $T_{g}$ 至6 s區段，地震影響係數應取

$alpha =[eta _{2} 0.2^{gamma } -eta _{1} (T-5T_{g} )]cdot alpha _{max}$

式中 $eta _{1}$ ——直線下降段的斜率調整係數，應按 $eta _{1} =0.02+frac{0,05-zeta }{4+32zeta }$ 確定，小於0時取0

[強2202]

這一題我就舉個栗子來分析如何從地震響應來推導出地震反應譜曲線吧。

基於 ANSYS 平台的高速列車－軌道－橋樑時變系統地震響應分析：目前，以列車荷載激勵下的動力相互作用模型為分析基礎，研究地震激勵下時變系統的響應已取得顯著的進展。

高速列車－軌道－橋樑相互作用時變系統的建立：在地震荷載激勵下，高速列車
－軌道－橋樑時變系統的相互作用模型主要是由列車和軌道－橋樑兩個子系統通過輪軌動態耦合關係加以建立的。其中，以剛體動力學方法模擬列車子系統，由有限元法模擬軌道
－橋樑子系統，而人工地震加速度時程則作為系統激勵通過大質量法作用於橋樑結構的底部。本文主要研究適於實際工程應用的方法，故文中採用二維時變系統模型進行分析，並忽略結構與地基的相互作用。在對時變系統進行建模時，計算坐標系統一定義為:x 軸正向為列車行進的方向，y 軸正向為豎直向上，z軸由右手定則確定。

軌道的結構形式是決定軌道－橋相互作用表現形式的關鍵因素。對於高速鐵路而言，無砟軌道目前應用較為廣泛，而大部分的無砟軌道結構中，軌道與橋樑中間往往會有混凝支撐塊(板)以及彈性橡膠墊層(緩衝列車荷載)。在數值模擬計算中，可將軌道和橋樑簡化為無限長 Bemoulli-Euler 梁，支撐塊(板)視為剛性體，而彈性橡膠墊層假定為均勻分布的線性彈簧和粘性阻尼器聯接。

時變系統地震響應分析：以日本新幹線
300 系高速列車為車輛模型，按 15輛車編組;軌道選用雙塊式無砟軌道結構，在 ANSYS軟體中採用用戶單元輪－軌耦合單元進行模擬，軌－橋耦合單元則模擬軌道與橋樑的相互作用;橋樑選用某高速鐵路跨度 32
m 的雙線預應力混凝土簡支箱梁橋，按 5 跨簡支梁建立，雙線矩形橋墩的墩高均為 10m，墩身橫向寬度為 5． 5
m，縱向寬度為 2． 3
m，主梁和橋墩均採用 beam3 梁單元離散;橋面二期恆載作為附加質量分配到主樑上，採用 mass21 質量單元進行模擬;橋墩與梁連接處分別按主、從自由度處理，由 CP 命令對相應自由度耦合;墩底則建立大質量單元，同樣採用mass21 質量單元進行模擬。軌道－橋樑子系統的材料阻尼採用Ｒayleigh 阻尼假定，振型阻尼比為 0． 05。選取 El Centro 地震波的加速度作為地震輸入激勵，將其按豎向 80 gal 進行規格化處理後沿橋墩底部輸入，見圖
所示。

上述結果表明，地震激勵對高速列車－軌道－橋樑時變系統的響應影響明顯，在列車的走行安全評價中應予以適當合理的考慮。

以剛體運動學及有限元法為基礎模擬列車－軌道－橋樑系統，通過輪軌間的幾何相容條件及動態相互作用力的平衡實現子系統間的動態耦合關係，利用大質量法對軌道
－橋樑子系統施加地震荷載，建立了地震激勵下的高速列車
－軌道－橋樑相互作用時變系統，並引入虛擬節點創建了輪－軌時變耦合單元，在大型有限商用軟體
ANSYS 中嵌入了該時變系統的功能，為解決複雜的工程實際問題提供了方便有效的途徑。

【然2119】：

一、推導

1、什麼是反應譜：

反應譜是單自由度彈性系統在給定地震動作用下的最大反應隨結構自振周期或頻率的變化曲線。

2、反應譜的計算理論：

單自由度彈性系統在地震作用下的運動方程為：

利用二階常微分方程理論，杜哈梅積分和一些簡單的高等數學運算，可求出其位移反應，速度反應和絕對加速度反應表達式。

假設有一組N個自振周期T_i（i=1,2,3……）各不相同而阻尼比ξ相同的單自由度體系，在某一給定的地震動過程(u_g ) ?(t)的作用下，各個體系的最大絕對值加速度反應為Sa （Ti，?），（i=1,2,3……）為

這是絕對加速度反應譜。利用相同的方法可得到相對加速度反應譜S_v，相對位移反應譜S_d。令准速度反應譜為

則可以得出相對位移反應譜Sd （T，?）和絕對加速度反應譜Sa （T，?）將分別為

運算過程在結構動力學中學習過，在此僅僅列出地震反應譜的表達式。

3、反應的數值計算方法：

當地震動加速度u ?(t)的時間過程給出時，計算單質點系的反應過程可以用褶積計演算法、傅里葉變換法、直接積分法三種計算方法。相比較此三種方法，線型加速度法的直接積分法比其他兩種方法計算時間少很多。

4、反應譜的意義：

1) 傅里葉譜只表示地震波本身的頻率特性，與結構物的概念沒有任何的聯繫。反應譜可以表現出地震波對單質點系所代表的結構物的最大影響。

2) 加速度反應譜給出了作用於結構物的力，在譜上可以直接得到最大絕對加速度，從而能夠求得最大剪力。

3) 速度反應譜代表了地震動給予結構物的最大能量。所以可以得到譜烈度。

4) 位移反應譜表示位移，與結構物中引起的應力有關，將它乘以彈簧常數k便可以得到最大剪力。

5) 複雜的多質點繫結構物的振動也可以分解成簡單的單質點系，求出每個振型的分量反應合成便得到複雜振型的反應。

5、可利用matlab繪製埃爾森特羅地震波的反應譜，圖例如下所示：

（不知道為什麼這張原始圖片上傳不了，所以用手機拍下來後截圖上傳的）

6、如何得到反應譜：

地震反應譜：由於地震的作用,建築物產生位移二、速度完和加速度獷.我們把不同周期下建築物反應值的大小畫成曲線,這些曲線稱為反應譜.

設計反應譜：地震反應譜是根據已發生的地震地面運動記錄計算得到的,而工程結構抗震設計需考慮的是將來發生的地震對結構造成的影響.由於地震的隨機性和影響地面運動因素的複雜性,即使同一地點不同時間發生發生地震的地面運動無論強度和頻率譜（或波形）絕不會完全相同,因此地震反應譜也將不同.可見,工程結構抗震設計不能採用某已確定地震記錄的反應譜,而應考慮地震地面運動的隨機性,確定一條供設計用反應譜,稱為設計反應譜.

抗震設計反應譜是根據大量實際地震記錄分析得到的地震反應譜進行統計分析,並結合震害經驗綜合判斷給出的.也就是說設計反應譜不像實際地震反應譜那樣具體反映1次地震動過程的頻譜特性,而是從工程設計的角度,在總體上把握具有某一類特徵的地震動特性.

區別：設計抗震反應譜和實際地震反應譜是不同的,實際地震反應譜能夠具體反映1次地震動過程的頻譜特性,而抗震設計反應譜是從工程設計的角度,在總體上把握具有某一類特徵的地震動特性；設計反應譜由地震烈度、場地類別因素確定。

二、理解及使用

1、設計反應譜：地震反應譜是根據已發生的地震地面運動記錄計算得到的，而工程結構抗震設計需考慮的是將來發生的地震對結構造成的影響。由於地震的隨機性和影響地面運動因素的複雜性，即使同一地點不同時間發生發生地震的地面運動無論強度和頻率譜（或波形）絕不會完全相同，因此地震反應譜也將不同。可見，工程結構抗震設計不能採用某已確定地震記錄的反應譜，而應考慮地震地面運動的隨機性，確定一條供設計用反應譜，稱為設計反應譜。

2、抗震設計反應譜是根據大量實際地震記錄分析得到的地震反應譜進行統計分析，並結合震害經驗綜合判斷給出的。也就是說設計反應譜不像實際地震反應譜那樣具體反映1次地震動過程的頻譜特性，而是從工程設計的角度，在總體上把握具有某一類特徵的地震動特性。

3、反應譜和設計反應譜區別：設計抗震反應譜和實際地震反應譜是不同的，實際地震反應譜能夠具體反映1次地震動過程的頻譜特性，而抗震設計反應譜是從工程設計的角度，在總體上把握具有某一類特徵的地震動特性；設計反應譜由地震烈度、場地類別因素確定

參考文獻：

裘民川;;蘇聯最新《地震區建築設計規範》介紹[J]；

(建築抗震設計規範( GB50011—2001) [S] . 北京: 中國建築工業出版社,2001；

中國知網，百度文庫

【斌2246】前來答題

一、 題中涉及的有關概念

1． 地震反應譜

2． 設計用反應譜

由於地震的隨機性，不同的地震記錄有不同的反應譜曲線，雖然它們具有某些共同特徵，但仍存在較大差別。在抗震設計中，採用一次地震記錄繪製的反應譜曲線來確定地震作用是沒有任何意義的，應根據大量地震記錄並按場地類別及震中距遠近分別作出反應譜曲線，從中找出代表性的平均曲線作為抗震設計的依據。進而利用《抗震規範》規定設計用反應譜。

二、由地震動響應推導出地震反應譜曲線

單自由度彈性體系的地震最大加速度反應與其自振周期的關係曲線叫地震（加速度）反應譜曲線。

由結構動力學可知，作用在質點上的慣性力等於質量m乘以質點的絕對加速度，即

由（1）式可得

相對於kx(t)來說 cx (t)很小，可以略去得到：

由此可知，單自由度彈性體系在地震作用下質點產生的相對位移x(t)與慣性力F(t)成正比，某瞬間結構所受地震作用可以看成是該瞬間結構自身質量產生的慣性力的等效力。這種力雖然不是直接作用於質點上，但它對結構體系的作用和地震對結構體系的作用相當。利用等效力對結構進行抗震設計，可使抗震計算這一動力問題轉化為靜力問題進行處理。

利用杜哈曼積分

將其代人式（3），並忽略阻尼對頻率影響，取 ω=ω得

由上式可見，水平地震作用是時間t的函數，它的大小隨時間t變化而變化。在結構抗震設計中，一般並不需要求出整個地震反應過程的所有變動值，而只要求出其中的最大絕對值。設F表示水平地震作用的最大絕對值，有

把上式看做最大絕對加速度和質量的乘積，最大絕對加速度以Sa表示，則

式中

Sa取決於地面運動加速度xg" (t)、結構自振頻率ω或自振周期T，並與阻尼比ξ有關。Sa可通過反應譜理論確定，Sa確定以後即可水平地震作用（這裡主要以單質點體系的水平地震情況為例說明）。

此部分所有文字公式純手打，望老師採納（由於word里編輯的公式複製後有所改變，故選擇轉成pdf，然後截取圖片以保證有比較好的觀感體驗）！！！

三、規範中如何理解和使用設計用反應譜

根據《建築抗震設計規範》(GB 50011-2010)，採用的是地震影響係數α譜

地震係數α和動力係數β分別是表示地面振動強烈程度和結構地震反應大小的兩個參數，為方便起見把它們的乘積用一個係數表示，取

α稱為地震影響係數，它是單質點彈性體系在地震最大反應加速度與重力加速度的比值,即

也可以理解為作用在單質點上的水平地震作用與結構自重G的比值。

α譜曲線，建築結構阻尼比應取0.05，阻尼調整係數取1.0.

分為四個區段，形狀參數應符合下列規定：

⑴直線上升段，周期小於0.1秒的區段。

⑵ 水平段，自0.1秒至特徵周期區段，應取最大值( αmax)。

⑶曲線下降段，自特徵周期至5倍特徵周期區段，衰減指數應取0.9。

⑷直線下降段，自5倍特徵周期至6秒區段，下降斜率調整係數應取0.02。

上圖公式中，

αmax——地震影響係數最大值，與設防概率和地震烈度有關；

γ——衰減指數；

η1——直線下降段的下降斜率調整係數；

η2——阻尼調整係數；

T——結構自振周期，s；

Tg——特徵周期，與場地類型及場地距震中距離有關。

地震影響係數最大值和特徵周期，可以查下表得到

當建築結構的阻尼比不等於0.05時，地震影響係數曲線的阻尼調整係數和形狀參數應符合下列規定：

①衰減指數γ： γ=0.9+(0.05-ξ)/(0.3+6ξ)

②直線下降的下降斜率調整係數η1: η1=0.02+(0.05-ξ)/(4+32ξ)當η1﹤0時取0

③阻尼調整係數η2：η2=1+(0.05-ξ)/(0.08+1.6ξ)當η2﹤0.55時取0.55。

此處主要以《建築抗震設計規範》，而《公路工程抗震設計規範》所採用的設計反應譜與《建築抗震設計規範》相比有些類似，有以下異同點:

1 ) 影響反應譜的因素。橋樑抗震設計規範使用的反應譜曲線是針對四類不同場地條件給出的, 曲線主要考慮場地條件的影響,其他影響因素則未予以考慮。建築抗震設計規範所使用的反應譜曲線不僅與場地類別有關,而且與設計地震分組有關。這樣可以更好地反映場地條件、震中距和震源深度、震級、震源機制和傳播路徑等多種因素的影響。

2) 地震設計譜的阻尼修正。規範反應譜曲線是取阻尼比為5%時給出的, 當結構阻尼比與5% 明顯不同時, 就應該進行修正。但公路工程抗震設計規範沒有給出阻尼比不同時的修正公式,而
建築抗震設計規範則給出了阻尼比不等於5%時的修正公式。

3) 反應譜曲線的最大適用周期。對於建築抗震設計規範,當

T &> 6. 0 s 時, 就會超出反應譜的適用範圍,
此時所採用的地震影響係數需做專門研究。對

於橋樑抗震設計規範, 反應譜曲線的最大適用周期為
5. 0 s。

參考資料：

1.百度百科

2.《荷載與結構設計方法》柳炳康版武漢理工大學出版社

3.《建築抗震設計規範》（ GB 50011-2010）

4. 知網文章：《橋樑抗震設計規範與建築抗震設計規範的比較》孔玉峰王國彬

勛【2116】前來答題

一、關於反應譜理論

目前，我國和世界上許多國家的抗震規範中，均把反應譜理論作為確定地震作用的主要手段，從而使反應譜理論稱為現階段抗震設計的根本理論。譜的理論源於物理學，它的意思是把一種複雜的事分解成若干獨立分量，並按照一定的次序排列起來行程的圖形。

地震反應譜理論就是把不同地震反應按周期次序排列形成的圖形。例如，加速度反應譜就是在給定地面運動作用下，不同周期的單質點彈性體系的最大反應加速度按體系的自振周期次序排列起來形成的曲線，在結構進行抗震設計時，如果已知體系自振周期，利用加速度反應譜線就可以方便的確定體系的反應加速度，進而求出地震作用。反應譜理論不僅能應用於單質點體系的地震反應計算，而且在一般條件下還能推廣應用於多質點體系的地震反應計算。

地震動頻譜特性就是強震地面運動對具有不同自振周期的結構的響應，反應譜是工程抗震用來表示地動頻譜的一種特有的方式，這是由於它是通過單自由度體系的反應來定義的，容易為工程界所接受。反應譜S（T，ξ）的定義是：具有同一阻尼比ξ的一系列單自由度體系（其自振周期為Ti，i=1，2，…N）的最大反應絕對值S（Ti，ξ）與周期Ti的關係，即S（Ti，ξ），有時也寫為S（T）。或者說干具有相同阻尼特性的，但結構周期不同的單自由度體系，在某一地震作用下的最大反應。反應譜的形狀隨a（t）而變，近震小震堅硬場地上的地震動a（t）的反應譜峰值在高頻部分，遠震大震軟厚場地上的a（t）的反應譜峰值在低頻部分。震害經驗表明：小震近震近堅硬場地上的地震動容易使剛性結構產生震害，而大震軟厚場地上的地震動容易使高柔結構產生震害。這一規律從地震動的頻譜特性去理解就很容易解釋，前一種地震動的高頻比較豐富，而後一種則以底頻含量較強，由於共振效應，前者易使高頻結構受到破壞，後者易使底頻結構受損。

二、關於地震反應譜

所謂地震反應譜（earthquake response spectrum），就是單自由度彈性系統對於某個實際地震加速度的最大反應（可以是加速度、速度和位移）和體系的自振特徵（自振周期或頻率和阻尼比）之間的函數關係。

由於地震的作用，建築物產生位移、速度和加速度。人們把不同周期下建築物反應值的大小畫成曲線，這些曲線稱為反應譜。

一般來說，隨周期的延長，位移反應譜為上升的曲線；速度反應譜比較恆定；而加速度的反應譜則大體為下降的曲線（下圖）。一般說來，設計的直接依據是加速度反應譜。加速度反應譜在周期很短時有一個上升段（高層建築的基本自振周期一般不在這一區段），當建築物周期與場地的特徵周期接近時，出現峰值，隨後逐漸下降。出現峰值時的周期與場地的類型有關：I類場地約為0．1～0．2s；Ⅱ類場地約為0．3～0．4s；Ⅲ類場地約為0．5～0．6s；Ⅳ類場地約為0．7～1．0s；建築物受到地震作用的大小並不是固定的，它取決於建築物的自振周期和場地的特性。一般來說，隨建築物周期延長，地震作用減小。

三、如何由地震動響應來得出地震反應普

衡量地震作用強烈程度目前常用地面運動的最大加速度Amax作為標誌，它就是建築物抗震設計時的基礎輸人最大加速度，其單位為重力加速度g（9．81m/s^2)或Gal（gal=10mm/s^2），大體上，7度相當於最大加速度為l00Gal，8度相當於200Gal，9度相當於400Gal。

但是，從世界範圍來說，地震預報仍處於探索階段，尚未完全掌握地震孕育發震的規律，地震預報主要是根據多年積累的觀測資料和震例而作出的經驗性預報，因此，不可避免地帶有很大局限性。目前的地震預報水平和現狀，大體可這樣概括：人們對地震孕育發生的原理、規律有所認識，但還沒有完全認識；能夠對某些類型的地震作出一定程度的預報，但還不能預報所有的地震；做出的較大時間尺度中長期預報有一定的可信度，但短臨預報的成功率還相對較低，特別是臨震預報。

四、規範中的設計用反應譜的理解

通過設計地震分組（震源遠近）和場地類別（地基好壞）確定。

根據現行《建築抗震設計規範》GB50011-2010，特徵周期數值如下表所示：

設計地震分組第一組第二組第三組

Ⅰ0類場地 0.20秒 0.25秒 0.30秒

Ⅰ1類場地 0.25秒 0.30秒 0.35秒

Ⅱ類場地 0.35秒 0.40秒 0.45秒

Ⅲ類場地 0.45秒 0.55秒 0.65秒

Ⅳ類場地 0.65秒 0.75秒 0.90秒

對應於地震影響係數曲線,特徵周期所在位置如下圖所示

譜曲線由4部分組成，在T&<0.1區段內， $alpha$ 取為斜向上傾斜的直線；在0.1&< $T$ &< $T_{g}$ 區段內， $alpha$ 採用水平線；在 $T_{g}<T<5T_{g}$ 區段內， $alpha$ 按照下降的曲線規律變化：

$alpha =left( frac{T_{g} }{T} ight) ^{gamma } eta _{2} alpha _{max}$

在 $5T_{g}<T<6.0s$ 區段內， $alpha$ 為下降直線：

$alpha =[eta _{2} 0.2^{gamma } -eta _{1}(T-5T_{g})]alpha _{max}$

【榮2295】前來回答

一、地震反應譜的推導及一些相關介紹

1.地震反應譜的定義

所謂地震反應譜earthquake response spectrum ，就是單自由度彈性系統對於某個實際地震加速度的最大反應(可以是加速度、速度和位移)和體系的自振特徵(自振周期或頻率和阻尼比)之間的函數關係。在給定的地震輸入下，不同固有周期的地層或結構物將有不同的振動位移反應，這種反應的時程曲線是由多種頻率成分組成的振動曲線叫地震反應譜，取對應於不同固有周期的位移時程曲線的最大值作為縱坐標，取所對應的固有的周期為橫坐標，由此繪成曲線，供抗震設計中選用在設計周期下的相應振動幅值。

2.地震反應譜的推導及相關介紹

由於地震的作用，建築物產生位移、速度和加速度。人們把不同周期下建築物反應值的大小畫成曲線，這些曲線稱為反應譜。一般來說，隨周期的延長，位移反應譜為上升的曲線；速度反應譜比較恆定；而加速度的反應譜則大體為下降的曲線（下圖）。一般說來，設計的直接依據是加速度反應譜。加速度反應譜在周期很短時有一個上升段（高層建築的基本自振周期一般不在這一區段），當建築物周期與場地的特徵周期接近時，出現峰值，隨後逐漸下降。出現峰值時的周期與場地的類型有關：I類場地約為0．1～0．2s；Ⅱ類場地約為0．3～0．4s；Ⅲ類場地約為0．5～0．6s；Ⅳ類場地約為0．7～1．0s；建築物受到地震作用的大小並不是固定的，它取決於建築物的自振周期和場地的特性。一般來說，隨建築物周期延長，地震作用減小。衡量地震作用強烈程度目前常用地面運動的最大加速度Amax作為標誌，它就是建築物抗震設計時的基礎輸人最大加速度，其單位為重力加速度g（9．81m/s^2)或Gal（gal=10mm/s^2），大體上，7度相當於最大加速度為l00Gal，8度相當於200Gal，9度相當於400Gal。

在地震時，結構因振動而產生慣性力，使建築物產生內力，振動建築物會產生位移、速度和加速度。地震力大小與建築物的質量與剛度有關。在同等的烈度和場地條件下，建築物的重量越大，受到地震力也越大，因此減小結構自重不僅可以節省材料，而且有利於抗震。同樣，結構剛度越大、周期越短，地震作用也大，因此，在滿足位移限值的前提下，結構應有適宜的剛度。適當延長建築物的周期，從而降低地震作用，這會取得很大的經濟效益。但是，從世界範圍來說，地震預報仍處於探索階段，尚未完全掌握地震孕育發震的規律，地震預報主要是根據多年積累的觀測資料和震例而作出的經驗性預報，因此，不可避免地帶有很大局限性。目前的地震預報水平和現狀，大體可這樣概括：人們對地震孕育發生的原理、規律有所認識，但還沒有完全認識；能夠對某些類型的地震作出一定程度的預報，但還不能預報所有的地震；做出的較大時間尺度中長期預報有一定的可信度，但短臨預報的成功率還相對較低，特別是臨震預報。

二、規範中的設計用反應譜的理解與使用

我們在抗震設計中採用的並非根據已發生地震地面運動記錄計算得到的地震反應譜。因為工程結構抗震設計需考慮的是將來發生的地震對結構造成的影響，由於地震的隨機性，即使同一地點不同時間發生的地震絕不會完全相同，因此地震反應譜也將不同。為了便於工程抗震設計，規定設計反應譜。地震係數k，實質上是以重力加速度為單位的地面運動最大加速度。它是與地震影響程度有關的物理量。我國目前在工業與民用建築以及水工建築的抗震設計中所採用的地震系.數值與地震烈度之間的大體上的對應關係，如下表所示，它們是經過大量的調查研究和統計分析後規定的。動力係數β實質上是以地面最大加速度為單位的質體絕對最大加速度。可以看出，動力係數的值取決於結構的自振周期和阻尼比。如圖所示，

這樣，我們就可以求出設計的地震作用大小。PS希望老師點贊，謝謝老師。

【楠2099】

概述：反應譜是描述地震動頻譜特性的一種方法，它不僅反映了地震動頻譜的重要特徵，同時也反映了不同自振周期的結構對地震作用的最大反應（加速度、速度和位移），它較合理而簡單的反映了地震作用與結構反應之間的關係，因此被廣泛應用於結構抗震設計。目前世界上大多數國家都採用抗震設計反應譜作為確定結構抗震設計中地震動輸入的依據，用以估計結構在一定設計使用年限內可能遭受的地震作用水平。

那麼什麼是反應譜呢，首先先了解一下反應譜的涵義。

反應譜是指一系列固定在剛性地基上的具有相同阻尼、不同自振周期的單自由度體系，在給定相同地震動作用下的最大反應（包括加速度反應、速度反應和位移反應）隨體系自振周期變化的曲線，它包括加速度反應譜、速度反應譜和位移反應譜，反應譜同時也是阻尼比的函數。這裡所說的單自由度體系可認為是滿足如下條件的單質點結構：將結構中參與振動的質量全部集中在一點上，用無重量的彈性桿件系統支撐於地面上，並假定地面運動和結構振動只是單方向的水平平移運動，不發生扭轉。地基是剛性地面（即不考慮土-結構相互作用）。反應譜概念的描述可采圖 1.2-1

表示。

而地震反應譜earthquake response spectrum 指的是在給定的地震輸入下，不同固有周期的地層或結構物將有不同的振動位移反應，這種反應的時程曲線是由多種頻率成分組成的振動曲線叫地震反應譜，取對應於不同固有周期的位移時程曲線的最大值作為縱坐標，取所對應的固有的周期為橫坐標，由此繪成曲線，供抗震設計中選用在設計周期下的相應振動幅值。

再來看看什麼是地震反應譜曲線

地震反應譜曲線：動力係數β與地面運動加速度記錄的特徵、結構的自振周期以及阻尼比有關，當地面加速度記錄和阻尼比給定時，就可根據不同的 T 值算出動力係數β，從而得到一條曲線，這條曲線就稱為動力係數反應譜曲線，其實實質上是一種加速度反應譜曲線。

那麼，如何從地震動響應推導出地震反應譜曲線呢？

動力係數β是單自由度體系在地震作用下最大反應加速度與地面運動加速度的比值，也就是質點最大加速度比地面最大加速度的放大倍數。

動力係數β可表示為：

由結構動力學可知，作用在質點上的慣性力等於質量m乘以質點的絕對加速度，

由達朗貝爾原理可得：

相對於kx(t)來說 cx (t)很小，可以略去得到：

利用杜哈曼積分得：

在結構抗震設計中，一般並不需要求出整個地震反應過程的所有變動值，而只要求出其中的最大絕對值。設F表示水平地震作用的最大絕對值，有：

把上式看做 F=mSa，則：

帶入β中，可得

動力係數與地面運動加速度記錄、結構自振周期和結構阻尼有關。選取一條地震加速度記錄是已知的，再給定一個阻尼比，對於不同周期的單質點體系利用上式算出動力係數β，再把β按周期大小次序排列起來，得到β-T關係曲線，這就是動力係數反應譜。因為動力係數視單自由度體系質點的最大反應加速度Sa與地面最大運動加速度的比值，所以β-T關係曲線實質上是加速度反應譜曲線。

影響反應譜曲線的因素：反應譜曲線形狀受多種因素的影響，其中場地條件影響最大。場地土質鬆軟，長周期結構反應較大，曲線峰值右移；土質堅硬，短周期結構反應較大，曲線峰值左移。震級和震中距對反應譜曲線也有影響，在烈度相同的情況下，震中距較遠時，加速度反應譜的峰點偏向較長周期，曲線右移；反之相反。

最後，再來看看規範中的設計用反應譜如何理解及使用。

1、建築抗震設計規範（4GB50011-2010）

我國建築抗震設計反應譜的形狀，圖中符號意義及取值見《建築抗震設計規範 GB50011-2010》。在結構進行多遇烈度下的抗震驗算時，反應譜平值 αmax根據設防烈度規定，特徵周期Tg根據場地條件和考慮近震遠震的設計地震分組確定。

2、構築物抗震設計規範（GB50191-93）

我國構築物抗震設計規範[114]（以下簡稱「構規」）規定，地震影響係數曲線應根據烈度、場地指數和結構的自振周期按圖 1-4 確定，其下限值不應小於最大值的 10%。圖 1.3-3 中反應譜平值 αmax

根據抗震計算水準和設防烈度確定，特徵周期 Tg根據場地指數 μ 按下式確定：

Tg= 0.65-0.45 $mu ^{0.4}$ 。對於基本自振周期大於 1.5s 且位於中軟、軟場地上的高柔結構物，在按上式計算特徵周期時，其值宜增加 0.15s。

3、公路工程抗震設計規範（JTJ004-89）

我國公路工程抗震設計規範[117]（以下簡稱「規」是用動力放大係數 β 譜表示設計反應譜，該規範規定用兩種方法確定設計反應譜。第一種方法是根據結構計算方向的自振周期和場地類別按圖 1.3-6 確定放大係數，四類土的特徵周期分別為 0.2s、0.3s、0.45s 和 0.7s，計算截止周期為 5s。

對反應譜的研究實際上是對地震動特性的研究，反應譜特徵周期的取值是地震動頻譜特性在結構抗震設計中的體現，動力放大係數譜平台值的取值是卓越頻率段的結構對地面運動放大能力的問題，而絕對加速度反應譜平台值（我國抗震規範中的水平地震影響係數最大值）的取值則綜合考慮了地震動強度和結構對地震動的放大能力。反應譜特徵周期和平台值的確定關係到大範圍的一般結構物的抗震設計，因此對這兩個問題的研究非常重要。

【軍2315】

地震反應譜

對結構設計比較重要的地震反應參數是相對位移、相對速度和絕對加速度。相應地這三種反應譜就受到特別的關注。尤其是絕對加速度反應譜(簡稱加速度譜), 與等效地震力計算直接相關,《規範》中的設計反應譜, 便是加速度反應譜。有了反應譜, 任何單質點系(周期T , 阻尼比ζ)的最大反應譜可以直接從譜圖中查出, 實際應用非常方便。理論分析表明, 在忽略阻尼比的高次項影響時, 相對位移x(t)、相對速度﹒x(t)、絕對加速度¨x(t)+¨x g(t)分別可做如下表達:

其中, s(ω, t), φ, α, β 均為t 的慢變函數;ω為所考察單質點系的自振周期。上列各式也解釋了為什麼同一地震加速度激勵下, 不同自振周期結構的反應具有各自不同的頻譜特性。若分別以SD , S V , SA 表示地震中的最大相對位移、最大相對速度和最大絕對加速度, 則由式(1)可有三種反應譜的如下關係:

根據關係式(2), 可以用對數坐標把三種反應譜畫在同一張圖上, 形成所謂三坐標反應譜或三聯譜, 方便研究。由高等數學知, 可以通過將周期函數和非周期函數分別分解為Fourier 級數和Fourier 積分來考察函數的諧分量組成。人們自然會想到對地震加速度¨x g(t)做相應的Fourier 分析:

即為地面加速度中頻率等於ω的諧波分量, 稱G(ω)為地震Fourier 譜。不難推知G(ω)就是在地震結束時(t =t1), 無阻尼單質點體系的速度反應, 只是符號相反。這樣速度反映譜可以看作是Fourier 譜在時間t 上的最大值。從幾何上看, G(ω, t)是由ω,t , G 三分量構成的直角坐標系中的一個曲面。曲面上對應每一ω值的G 的最大值點在G — ω平面上的投影所形成的曲線, 即為相對速度反應譜。理論研究表明, Fourier 譜是單位質量的能量譜, 而無阻尼速度反應譜是它在時間t 上的最大值。雖然二者均能反應強震地面運動特徵, 但反應譜更適用於計算結構的地震反應, 特別是它可以考慮阻尼的影響, 因而反應譜比Fourier 譜在工程上有更廣泛的應用。實際計算的經驗表明, 反應譜主要決定於地震加速度記錄中最強烈的一段。因而反應譜概念不能很好地反應地震持時(它是影響結構破壞程度的重要因素)的影響, 這可以看作反應譜的一個缺點;此外, 反應譜只是彈性範圍內的概念, 不能反映結構反應的非彈性特性, 必要時, 需專門研究結構的彈塑性反應譜。

由地震動響應推導出地震反應譜曲線

單自由度彈性體系的地震最大加速度反應與其自振周期的關係曲線叫地震（加速度）反應譜曲線。

由結構動力學可知，作用在質點上的慣性力等於質量m乘以質點的絕對加速度，即

由（1）式可得

相對於kx(t)來說 cx (t)很小，可以略去得到：

利用杜哈曼積分

將其代人式（3），並忽略阻尼對頻率影響，取 ω=ω得

把上式看做最大絕對加速度和質量的乘積，最大絕對加速度以Sa表示，則

式中Sa取決於地面運動加速度xg" (t)、結構自振頻率ω或自振周期T，並與阻尼比ξ有關。Sa可通過反應譜理論確定，Sa確定以後即可水平地震作用（這裡主要以單質點體系的水平地震情況為例說明）。

規範中的設計用反應譜的理解及使用

為了簡化計算，將地震係數 $k$ 和動力係數 $eta$ 以乘積 $alpha$ 表示，即 $alpha =keta$ ， $alpha$ 稱為地震影響係數。所以

$F_{Ek} =alpha G$ （式1）

$alpha =keta =frac{left| x_{g}^{} (t) ight| _{max} }{g} cdot frac{S_{a} }{left| x_{g}^{} (t) ight| _{max} } =frac{S_{a} }{g}$ （式2）

《建築抗震設計規範》GB 50011-2010就是以地震影響係數 $alpha$ 作為抗震設計參數的，其值應根據烈度、場地類別、設計地震分組以及結構的阻尼比確定。

建築結構的地震影響係數曲線分為四段，如下圖所示，各段的形狀參數和阻尼調整應符合下列要求。

（1）直線上升段，即周期小於0.1s的區段，地震影響係數按直線變化。

（2）直線水平段，即自0.1 s至特徵周期 $T_{g}$ 區段，地震影響係數應取最大值 $eta _{2}alpha _{max}$ 。

（3）曲線下降段，即自 $T_{g}$ 至5 $T_{g}$ 區段，地震影響係數應取

$alpha =(frac{T_{g}}{T} )^{gamma } eta _{2} alpha _{max}$

式中 $gamma$ ——衰減指數，應按 $gamma =0.9+frac{0.05-zeta }{0.3+6zeta }$ 確定

$zeta$ ——阻尼比，對鋼筋混凝土結構可取書 $zeta =0.05$ ，對鋼結構可取多 $zeta =0.02$ ，對鋼和鋼筋混凝土混合結構可取 $zeta =0.04$

$T_{g}$ ——特徵周期

$eta_{2}$ ——阻尼調整係數，應按 $eta _{2} =1+frac{0.05-zeta }{0.08+1.6zeta }$ 確定，並不應小於0.55

（4）直線下降段，即自5 $T_{g}$ 至6 s區段，地震影響係數應取

$alpha =[eta _{2} 0.2^{gamma } -eta _{1} (T-5T_{g} )]cdot alpha _{max}$

式中 $eta _{1}$ ——直線下降段的斜率調整係數，應按 $eta _{1} =0.02+frac{0,05-zeta }{4+32zeta }$ 確定，小於0時取0

【鑫 2303】前來答題

一．地震反應譜：

其中, s(ω, t), φ, α, β
均為t 的慢變函數;ω為所考察單質點系的自振周期。上列各式也解釋了為什麼同一地震加速度激勵下, 不同自振周期結構的反應具有各自不同的頻譜特性。若分別以SD , S V , SA 表示地震中的最大相對位移、最大相對速度和最大絕對加速度, 則由式(1)可有三種反應譜的如下關係:

二．地震反應分析中的反應譜理論：

最基本的多自由度體系線性動力反應分析方法有:時域分析法、頻域分析法和振型疊加法。前二者是從對輸入的離散化著手進行體系動力反應分析,
而後者則通過對結構振動特徵的離散化來實現體系動力反應的離散化。時域法適用於重要結構的地震反應分析, 需要藉助計算機輔助, 計算量大;頻域法適用於具有頻變參數結構的地震反應分析, 雖然理論框架完整, 但計算工作量也很大。振型疊加法適用於對結構最大地震反應進行考察。由於振型分解的結果為多個單自由度體系的振動, 加之隨機振動理論中有成熟的描述振型最大反應與組合最大反應間關係的理論,這就使得前述設計反應譜得到應用, 形成所謂振型分解反應譜法。它簡化了地震反應分析過程, 為工程抗震設計提供了便捷、

有效的分析手段。

方程(3)為多自由度體系地震反應動力方程的一般形式。其無阻尼自由振動方程為:

相應的特徵方程為:([ K] -ω2[ M] ){u}={0}, 由其頻率方程 [ K] -ω2[ M] =0, 可得n 個頻率ω1 ,
ω2 , … , ωn 。將ω1 ～ ωn代入式(4)可得n 個{U}, 即為體系的n 個振型向量。由於特徵方程的齊次性,{U}只能確定形狀, 而不能確定數值, 常做歸一化處理為{
}j(j =1 , … , n)。易證明:

這說明振型向量關於權[ M] ,
[ K] 正交, 但不能講振型向量本身正交。這為方程(2)的解耦提供了基本條件。將相對位移向量用振型向量表示為:

代入方程(3), 並左乘{ }j(j = 1 , … , n), 可將(3)左端第一、三項解耦。若第二項[ C] 也同時解耦, 則稱[ C] 為經典阻尼矩陣。[ C]是否為經典阻尼矩陣的充要條件為:

在一般工程實踐中, 往往視[ C] = a[ M] +b[ K] , 即所謂的Ray leigh 阻尼, a , b 兩常數可由選定體系的兩個振型阻尼比和相應的自振頻率確定。這樣, 上述方法就實現了方程(3)的解耦。解耦為n 個單自由度體系,
每個體系對應一個振型。對較低建築或動力自由度較少的結構, 一般選前1 個～ 3 個振型即可, 因為它們已包含了振動的大部分能量。對高層或動力自由度較多的結構, 一般選前1 個～ 15 個振型, 而大跨度橋樑等結構往往低頻密集, 則需更多的振型參與分析, 才能得到滿意的結果。振型分解反應譜法的運用需滿足以下條件:1)結構地震反應是線彈性的, 且基礎是剛性的, 所有支承處地震動完全相同。這樣才能保證疊加原理的運用。2)結構最不利地震反應為其最大地震反應。反應譜就是考察最大反應的工具。3)地震動過程必須是平穩的。在此條件下, 相關組合理論才適用。振型分解反應譜法的組合理論如下:

即完全平方法(CQC)。其中, ρ0 , ij(ωi , ωj , ζi , ζj)為振型互相關係數;s 為結構組合最大反應{s}的任一分量;si
, sj 為振型最大反應{si},{sj}中相應於s的分量。當結構自振頻率滿足以下條件:

認為結構自振頻率相隔遠, 可取ρ0 , ij =0(i ≠j), 式(5)變為:

即平方和開平方的方法(SRSS)。

式(5)一般用于振型密集結構, 如考慮平移, 扭轉耦聯振動的線性結構。式(6)用於主要振型周期相隔較遠的體系, 如串聯多自由度體系。其中, s 為振型的反應, 而不應當是地震作用(地震動在結構上引起的慣性力), 這是運用振型分解反應譜法時需特別注意的。

【華2114】

1.地震反應譜

可理解為一個確定的地面運動，通過一組阻尼比相同但自振周期各不相同的單自由度體系，所引起的各體系最大反應與相應體系自振周期間的關係曲線。但是，不同場地類別和震中距對反應譜有影響，因而不能直接用於抗震設計，需專門研究可供結構抗震設計用的反應譜，稱為設計反應譜。

2.設計反應譜

由結構動力學

地震係數，該參數可將地震動幅值對地震反應譜的影響分離出來。

地震係數與基本烈度的關係

基本烈度

地震係數k

0.05

0.10（0.15）

0.20（0.30）

0.40

動力係數，是體系最大絕對加速度的放大係數

特點：a.是一種規則化的地震反應譜，且動力係數不受地震動振幅的影響。

b.與地震反應譜具有相同的性質，受到體系阻尼比，以及地震動頻譜（場地條件和震中距）的影響。

調整：

1、為了消除阻尼比的影響由於大多數實際建築結構的阻尼比在0.05左右,取確定的阻尼比然後不同建築物根據公式相應調整。

2、按場地震中距將地震動記錄分類，消除地震動頻譜對地震動的影響。

3、計算每一類地震動記錄動力係數的平均值考慮類別相同的不同地震動記錄動力係數的變異性。

經過上述三條措施後，再將計算得到的β(T)平滑化後，可得到抗震設計採用的動力係數譜曲線。

3.地震影響係數譜曲線

4.反應譜的局限性：

不能反映地震的持續時間（加速度幅值）

不能考慮多點激勵的影響（剛性地基）

不能反映建築物質量和剛度分布的不均勻

不能反映多個阻尼的情況

不能反映場地條件和卓越周期的影響

不能反映低周疲勞的影響

不能反映結構周期不確定性的影響

【鑫2104】前來回答

一、地震反應譜

在地震中，由於建築物會產生位移、速度和加速度。人們把不同周期下建築物反應值的大小畫成曲線，這些曲線就稱為反應譜。在《工程抗震術語標準》（JGJ/T 97-95）中對反應譜的相關描述如下：反應譜，是指在給定的地震震動作用期間，單質點體系的最大位移反應、最大速度反應或最大加速度反應隨質點自振周期變化的曲線。設計反應譜，是指結構抗震設計所採用的反應譜。樓面反應譜，是指對於給定的地震震動，由結構中特定高程的樓面反應過程求得的反應譜。反應譜特徵周期，是指與設計反應譜曲線下降段起點對應的周期。在一般條件下，隨周期的延長，位移反應譜為上升的曲線；速度反應譜比較恆定；而加速度的反應譜則大體為下降的曲線。一般說來，設計的直接依據是加速度反應譜。加速度反應譜在周期很短時有一個上升段，對於高層建築其基本自振周期則一般不在這一區段，當建築物自震周期與場地的特徵周期接近時，出現峰值，隨後逐漸下降。出現峰值時的周期與場地的類型有關，按照有關規定：I類場地約為0．1～0．2s；Ⅱ類場地約為0．3～0．4s；Ⅲ類場地約為0．5～0．6s；Ⅳ類場地約為0．7～1．0s。

衡量地震作用強烈程度目前常用地面運動的最大加速度Amax作為標誌，它就是建築物抗震設計時的基礎輸人最大加速度，其單位為重力加速度g（9.81m/s)。

反應譜理論考慮了結構動力特性與地震動特性之間的動力關係，通過反應譜來計算由結構動力特性（自振周期、振型和阻尼）所產生的共振效應。地震時結構所受的最大水平基底剪力，即總水平地震作用為：

F = kβ(T)G

式中，k為地震係數，β(T)則是加速度反應譜Sa(T)與地震動最大加速度a的比值，它表示地震時結構振動加速度的放大倍數。

β(T)=Sa(T)/a

二、從地震動響應推導出地震反應譜曲線

規准反應譜(或稱為標準反應譜) 就是將地震動加速度反應譜分別除以對應地震動的最大值,使縱坐標譜值無量綱化,它反映了單質點系在地震作用下的最大反應對地震動峰值的放大情況。反應譜與規准反應譜只是在縱軸上的數值不同,而曲線的形狀是相似的。將反應譜規准化是為了消除地震動強度對反應譜縱軸坐標值的影響,是用於比較不同地震波頻譜特性的工具。雙規准反應譜就是在規准化反應譜的基礎上,再將橫坐標(即周期) 無量綱化:將地震動反應譜的峰值對應周期去除相應反應譜的橫坐標所得到的結果。

特徵周期實際上是地震專家們為了模擬地震反應譜提出的設計反應譜的需要，而根據大量地震統計數據提出來的一個概念，特徵周期的取值和地震影響係數的取值實際都是經驗值，本來地震反應譜就是經過許多假定而提出來的，為了用設計反應譜模擬地震反應譜，必須提出一個公式，而特徵周期就是公式里的一個係數。

三、規範中的設計用反應譜如何理解及使用

β譜曲線是根據第一次地震時地面運動加速度記錄繪製的，不同的地震記錄有不同的反應譜曲線，雖然它們有某些共同特徵，但仍存在較大差別。在抗震設計中，採用一次地震記錄繪製的反應譜曲線來確定地震作用是沒有意義的，應根據大量強震記錄並按場地類別及震中距遠近分別作出反應譜曲線，找出其中具有代表性的平均曲線作為抗震設計的依據。《建築抗震規範》按下述方法給出了設計用反應譜。

地震係數k和動力係數β分別是表示地面振動強烈程度和結構地震反應大小的兩個參數，為方便起見把它們的乘積用一個係數表示，取

α稱為地震影響係數，它是單質點彈性體系在地震最大反應加速度與重力加速度的比值，寫成：

F=αG

地震影響係數α也可理解為作用在單質點上的水平地震作用與結構自重G的比值。《建築抗震規範》以地震影響係數α作為參數，給出α譜曲線作為設計用反應譜。譜曲線由四部分組成，在T＜0.1區段內，α取為向上傾斜的直線；在0.1﹤T﹤Tg區段內，α採用水平線；在Tg﹤T﹤5Tg區段內，α按下降的曲線規律變化：

在5Tg﹤T﹤6.0s區段內，α為下降直線：

式中α為地震影響係數；αmax為地震影響係數最大值；γ為衰減指數；η1為直線下降段的下降斜率調整係數；η2阻尼調整係數係數；T為結構自振周期，s；Tg為特徵周期。