理髮師悖論的最終解決

摘要：關於羅素提出的理髮師悖論，主流的解釋是，也就是奎因提出的解釋：沒有這樣一位（能夠遵守規則的）理髮師。但這個解答，在我看來是錯誤的，或者起碼是不到位的。事實上，維特根斯坦更早就已經給出了最終的解答。只是維氏的解答，還沒有得到主流的理解和接受。

《韓非子》里有這樣一個故事：楚人有鬻盾與矛者，譽之曰：「吾盾之堅，物莫能陷也。」又譽其矛曰：「吾矛之利，於物無不陷也。」或曰：「以子之矛陷於之盾，何如？」其人弗能應也。

對於這個故事，我們都很清楚地知道，之所以會出現矛盾，是因為這位楚人過分誇大他的予與盾。關於該予是否能刺穿該盾，這位楚人給出了自相矛盾的說法。因此，對於該予是否能刺穿該盾，這位楚人並沒有給出定義。而對於該矛是否能刺穿其他盾，不管對與錯，這位楚人給出了確定的答案。我們讀完這個故事，並不會認為，楚人的矛與盾不能存在。或者認為，這位（賣這樣的矛與盾的）楚人不能存在，或者更荒唐地認為，《韓非子》這本書並不存在。其實，邏輯矛盾說明的是，書中的楚人對於矛與盾給出的說明是矛盾的。

然而，到了近代，又有了一個類似的悖論，我們卻給出了奇怪的答案。這就是著名的「理髮師悖論」，在一個村子裡有一位理髮師，這位理髮師聲稱：「給而且只給那些不給自己理髮的人理髮」。現在問理髮師是否要給自己理髮。如果理髮師不給自己理髮，那麼根據定義，他要給自己理髮；如果理髮師給自己理髮，那麼根據定義，他不能給自己理髮。

蒯因在其《悖論的方式》(1961)給出的解悖方案，後來成為主流認同的方案。蒯因認為，這個矛盾表明村裡沒有這樣一位理髮師。然而奇怪的是，有沒有這樣一位理髮師，顯然是一個經驗問題。通過這樣的邏輯推理與概念分析，居然可以證明或者否證一個經驗問題。這是十分奇怪的事情。蒯因自己也覺得奇怪，但是他更相信概念分析的能力。然而，概念分析的能力真的這麼強大嗎，強大到可以幫助我們證明或者否證經驗命題嗎？我們想要探討的是，邏輯推理與概念分析的能力界限在哪裡，邏輯矛盾可以告訴我們什麼。

反證法是藉助矛盾的論證方法，首先假設前提成立，然後進行邏輯推理與概念分析，進而得到邏輯矛盾，由此證明前提不成立。然而在這個證明過程中，我們需要思考的是，邏輯矛盾是來自整個推理鏈條，並不是僅僅來自於前提。在這個推理鏈條之中，隱藏著潛在的前提與潛在的規則。錯誤的位置究竟在哪裡，需要我們對於整個推理鏈條的仔細觀察與反覆推敲。

我們先來看一個錯誤使用反證法的例子。村子裡有一位理髮師，他聲稱：「他給自己理髮當且僅當他不給自己理髮」，由此可以得出這樣一位理髮師不存在。論證過程如下：假設村子裡有如此一位理髮師。如果他要給自己理髮，根據他的規則，他不給自己理髮。如果他不給自己理髮，根據他的規則，他要給自己理髮。矛盾。因此假設不成立，如此一位理髮師不存在。

這個論證過程是錯誤的，因為矛盾並不是來源於理髮師存在這個前提。其實，規則對於「理髮師要不要給自己理髮」 沒有定義，只是給出了一個矛盾式。如果認為存在定義，就會產生矛盾。這才是矛盾的根源。所以，矛盾說明的是理髮師並沒有為「是否給自己理髮」給出規則。

再來看蒯因的論證過程：假設村子裡有如此一位理髮師。如果他要給自己理髮，根據他的規則，他不給自己理髮。如果他不給自己理髮，根據他的規則，他要給自己理髮。矛盾。因此假設不成立，如此一位理髮師不存在。

這個論證過程同樣是錯誤的，因為矛盾並不是來源於理髮師存在這個前提。其實，規則對於「理髮師要不要給自己理髮」 沒有定義，只是給出了一個矛盾式。如果認為存在定義，就會產生矛盾。這才是矛盾的根源。所以，矛盾說明的是理髮師並沒有為「是否給自己理髮」給出規則。

上世紀的羅素悖論等一系列悖論，引起了對於數學基礎的普遍懷疑，這就是第三次數學危機。似乎清楚簡單地推理，卻推導出了矛盾。「是不是整個數學都出現了問題？」，這是當時數學家普遍的擔心。維特根斯坦評論道：這是一種「出於迷信的恐懼」。事實上，矛盾來自於推理鏈條，矛盾也只涉及推理鏈條所過之處。這並不是整體的問題，而只是局部的問題。

所以，矛盾並不可怕。矛盾說明的是，我們對於一些概念和規則的使用存在一些模糊和矛盾之處。我們所要做的事情就是，看清楚這些概念和規則的錯誤使用，重新規定這些概念和規則的使用方法。以下棋為例，維特根斯坦說道：「可以設想遊戲中的例子，一個規則是說：在某種條件下，相關的棋子必定被吃掉。而另一個規則則是說：在這種情況下，不能吃馬。如果相關的棋子恰恰就是馬，規則就發生了矛盾；我不知道我該做什麼。在那種情況下，我們做什麼呢？很簡單：我將引入新的規則，以此來解決衝突」，他又說：「我認為，如果數學的遊戲規則出現了矛盾，那麼補救措施就像是一件世界上最簡單的事情：我們只需要對使規則陷入衝突的那種情況進行重新規定，事情就算了結。」舉個例子，就像一開始根據乘法來定義除法a/b=c iff a=b*c，就會得出0/0=2=3這樣的矛盾。怎麼解決這裡的矛盾呢？難道要取消所有的除法？當然不是了，只需要在這個地方重新定義一下：0不能作除數。問題就解決了。

所以，對於悖論的解決，並不需要觸動整個數學基礎，而只是就悖論發生之處重新制定一些規則。類似的問題，也是類似的處理方式，比如對角線方法等等。更驚爆的是，數學家科學家們使用對角線方法證明的定理，包括實數不可數，哥德爾定理，停機問題，在維特根斯坦看來都是無效的。

進一步參閱：

1、庄朝暉，基於對角線引理和維特根斯坦思想對於悖論的分析，第六屆全國分析哲學學術研討會，山西大學，中國，2010年8月（入選《中國分析哲學 2010》，中國現代外國哲學學會分析哲學專業委員會編，浙江大學出版社，2011年10月，67頁-76頁）

2、 庄朝暉，關於對角線方法和停機問題的評論，第五屆兩岸邏輯教學與研究學術會議，重慶西南大學，2012年4月.

3、庄朝暉，基於直覺主義對哥德爾不完全性定理的評論，《廈門大學學報（哲社版）》，第2期，2008（並以此文獲得首屆洪謙哲學論文獎）