Serre《算術教程》筆記（1）

02-23

希望寫下這些筆記能夠讓我看懂這本薄薄的小書:O…

本文及此後提到的域，均為可交換的

有限域

1.域的特徵

設 $K$ 為域， $1_K$ 為其乘法單位元. 考慮 $f:mathbb{Z} ightarrow K$ ， $fleft( n ight) = n1_K$ 為環同態，其同態核形如 $kmathbb{Z}$ ，其中 $k$ 為唯一確定的非負整數.

由於 $mathbb{Z}/kerfsimeq imf subset K$ ，從而 $mathbb{Z}/kmathbb{Z}$ 無零因子，故 $k$ 為素數或 $0$ . 我們稱 $k$ 為域 $K$ 的特徵，記作 $charleft( K ight)$ . 當 $charleft( K ight) = 0$ 時， $Ksupset mathbb{Z}$ 必定為無限域，從而有限域的特徵為素數. 當 $charleft( K ight) =p e 0$ 時， $mathbb{F}_p simeq imf$ 為 $K$ 的子域.

2.Frobenius自同態

設 $K$ 為域， $charleft( K ight) = p e 0$ ，定義 $F_K : K ightarrow K$ ， $F_Kleft( x ight) = x^p$ 為 $K$ 的Frobenius自同態. 由於 $C_p^k equiv 0 (mod p)$ ， $forall 0 < k < p$ ，故Frobenius自同態為環同態，且 $ker F_K = 0$ . 從而其像 $imF_K = K^p$ 為 $K$ 的子域且同構於 $K$ .

當 $K$ 為代數閉的時候， $forall ain K$ ，方程 $x^p = a$ 有解，故此時 $im F_K = K$ ，Frobenius自同態事實上是自同構.

3.有限域的構造

設 $K$ 為有限域，則 $charleft( K ight) = p e 0$ . 由於 $Ksupset mathbb{F}_p$ ，可以將 $K$ 看作 $mathbb{F}_p$ 上的有限維線性空間，從而 $K$ 的元素個數為 $Cardleft( K ight) = q = p^left[ K:mathbb{F}_p ight]$ .

記 $Omega_p$ 為 $mathbb{F}_p$ 的代數閉包， $mathbb{F}_q := left{ F_{Omega_p}^{[K:mathbb{F}_p]}left( x ight) = x ight} = left{ x^q -x = 0 ight}$ 為自同構 $F_{Omega_p}^{[K:mathbb{F}_p]}$ 的不動點，從而為 $Omega_p$ 的子域. 由於 $Cardleft(K^ imes ight) = q-1$ ，故 $forall x in K^ imes$ ， $x^{q-1} = 1$ ，從而 $Ksubset mathbb{F}_q$ . 而 $(x^q-x) = -1$ ，故 $x^q-x =0$ 無重根，且 $Cardleft( mathbb{F}_q ight) = q = Card(K)$ . 故 $K simeq mathbb{F}_q$ .

由上可知，對於任意 $p$ 的冪 $q=p^t$ ，存在同構意義下唯一的域 $mathbb{F}_q = left{ F_{Omega_p}^{t}left( x ight) = x ight}subset Omega_p$ ，滿足其元素個數為 $q$ .

4.有限域的乘群

設 $K$ 為有限域，且 $Cardleft( K ight) = q$ . 則其乘群為循環群.

證明：若 $a,b in K^ imes$ ，且 $a,b$ 生成的乘群 $left( a ight),left( b ight)$ 元素個數相等 $Cardleft( left( a ight) ight) = Cardleft( left( b ight) ight) = d$ ，則 $left( a ight),left( b ight)subsetleft{ x^d-1=0,x in K ight}$ . 而域上 $d$ 次方程最多只有 $d$ 個不同的根，因此 $left( a ight)=left{ x^d-1=0 ,x in K ight}=left( b ight)simeqmathbb{Z}/dmathbb{Z}$ ，從而 $K^ imes$ 中至多存在一個 $d$ 階乘子群.
因此 $left{ x|Cardleft( left( x ight) ight)=d ight}$ 的元素個數為 $phileft( d ight)$ 或 $0$ ，其中 $phi$ 為歐拉函數. 又根據恆等式 $q-1=sum_{d|q-1}^{}{phileft( d ight)}$ ，即得 $forall d|q-1$ ， $left{ x|Cardleft( left( x ight) ight)=d ight}$ 的元素個數恰為 $phileft( d ight)$ . 特別地， $exists x in K^ imes,left( x ight) = K^ imes$ . 從而 $K^ imes simeq C_{q-1}$ 為循環群.

有限域上的方程

1.Chevally-Warning定理

引理：若 $ugeq 1$ 且不能被 $q-1$ 整除，那麼 $sum_{X in mathbb{F}_q}^{}{X^u} = 0$ .

證明：取 $y$ 為 $mathbb{F}_q^ imes$ 的生成元，則 $sum_{X in mathbb{F}_q}^{}{X^u} =sum_{X in mathbb{F}_q}^{}{(yX)^u} =sum_{X in mathbb{F}_q}^{}{y^uX^u}$ ，而 $y^u e 1$ ，故有 $sum_{X in mathbb{F}_q}^{}{X^u} = 0$ .

定理（Chevally-Warning）： $f_alpha in mathbb{F}_q left[ X_1, ...,X_n ight]$ 且 $sum_{alpha}^{}{degleft( f_alpha ight)} < n$ ，記 $V subset mathbb{F}_q^n$ 為 $f_alpha$ 的公共零點集. 那麼成立 $Cardleft( V ight) equiv 0 (mod p)$ .

證明： $Pleft( X_1,...,X_n ight):=prod_{alpha}^{}{(1-f_alpha^{q-1}left( X_1,...,X_n ight))}$ ，那麼 $P$ 為 $V$ 的「特徵函數」，即 $Pleft( X ight) = 1, X in V$ ， $Pleft( X ight) = 0, X otin V$ . 注意到 $charleft( mathbb{F}_q ight) = p$ ，則有 $Cardleft( V ight) equiv sum_{X in mathbb{F}_q^n }^{}{Pleft( X ight)} (mod p)$ 成立. 只需證明 $sum_{X in mathbb{F}_q^n }^{}{Pleft( X ight)} equiv 0 (mod p)$ .
而對於 $P$ 的每個單項式 $aprod_{ i = 1}^{n}X_{i}^{u_i}$ ，必定存在某個 $0<u_i < q-1$ ，從而根據引理，有 $sum_{X in mathbb{F}_q^n }^{}left(aprod_{ i = 1}^{n}X_{i}^{u_i} ight) = sum_{X_1,...,X_{i-1},X_{i+1},...,X_n}^{}{left( aprod_{j e i}^{}{X_j^{u_j}}left( sum_{X_iin mathbb{F}_q}^{}{X_i^{u_i}} ight) ight)} = 0$ ，證畢.

2.推論

有限域上至少 $3$ 個變數的二次型一定有非平凡零點.