範疇論學習筆記2：範疇生範疇

02-28

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學習材料：Category Theory: A Gentle Introduction - Logic Matters，最近更新（2018年1月29日）的版本。

從既有範疇中我們可以構建新的範疇。方法包括：對偶、子範疇、積範疇、商範疇、箭頭範疇以及切片範疇等。

定義10（對偶，duality）

對於一個範疇 $mathscr{C}$ ，它的逆範疇/反向範疇（opposite）或對偶（dual） $mathscr{C}^{op}$ 是一個滿足下列條件的範疇：

$mathscr{C}^{op}$ 的對象即 $mathscr{C}$ 的對象
如果在 $mathscr{C}$ 中 $f:A o B$ ，那麼在 $mathscr{C}^{op}$ 中 $f:B o A$
單位箭頭保持不變： $1^{op}_A = 1_A$
$mathscr{C}^{op}$ 中的複合（composition）定義如下： $fcirc^{op}g=gcirc f$

對偶的對偶即本身： $(mathscr{C}^{op})^{op} = mathscr{C}$ . 每個範疇都存在一個對偶。

以集合範疇 $extsf{Set}$ 的對偶範疇 $extsf{Set}^{op}$ 為例， $f:B o A$ 往往不是一個函數。在這種情況下，為了避免誤解，使用「源-目標」而非「定義域-值域」顯得很有必要。

上次筆記介紹了 20 種範疇，這裡再補充兩種：

C21： $extsf{Set}_star$ ，有點集合範疇（pointed sets）。對象是所有有著不同元素 $star_A$ 的集合 $A$ 。箭頭是全函數 $f:A o B$ ，將不同的 $star_A$ 映射到 $star_B$ 中。

C22：Rel，以裸集合為對象，但箭頭可以是任何關係（不一定函數）。

Set 的對偶範疇和 Set 有著很大差別；但 Rel 的對偶範疇和 Rel 則沒有本質的差別。

設 $mathscr{L}$ 為範疇的初級純粹語言（elementary pure language），那麼它有兩個層次（sorts），一個涵蓋對象，一個涵蓋箭頭。它有著兩個內置函數： $src, tar$ . 一個內置關係：「……是……的單位箭頭」，以及一個二元函數 $circ$ .

定義11

設 $varphi$ 是 $mathscr{L}$ 中的一個合式公式（wff），那麼它的對偶 $varphi^{op}$ 是通過（i）替換 $scr$ 和 $tar$ ，（ii）改編組合方向，使得 $fcirc g$ 變成 $gcirc f$ ，所得到的合式公式。

定理5（對偶原則，duality principle）

設 $varphi$ 是 $mathscr{L}$ 中的一個語句（sentence，沒有自由變數的合式公式），那麼 $varphi$ 是對於一個任意範疇里對象/箭頭的普通表述。如果範疇論的公理蘊含 $varphi$ ，那麼它也蘊含對偶語句 $varphi^{op}$ .

句法證明：

如果範疇論公理對於 $varphi$ 有著一階證明，那麼取證明中每一個合式公式的對偶，我們可以從範疇論公理的對偶中得到 $varphi^{op}$ 證明。這些公理的對偶本身也是公理，故我們可以從範疇論的公理中得到 $varphi^{op}$ 證明。 $square$

語義證明：

如果 $varphi$ 永遠 $mathscr{C}$ -成立，那麼 $varphi^{op}$ 永遠 $mathscr{C}^{op}$ -成立。由於 $mathscr{C}^{op}$ 也包含每一個範疇，所以 $varphi^{op}$ 永遠 $mathscr{C}$ -成立。 $square$

定義12（subcategory，子範疇）

對於一個範疇 $mathscr{C}$ ，如果 $mathscr{I}$ 包含下列數據：

對象：部分或所有 $mathscr{C}$ 對象
箭頭：部分或所有 $mathscr{C}$ 箭頭

且滿足下列條件：

對於所有 $mathscr{I}$ 對象 $C$ ， $mathscr{C}$ 箭頭 $1_C$ 也是一個 $mathscr{I}$ 箭頭
對於所有 $mathscr{I}$ 箭頭 $f:C o D, g: D o E$ ， $mathscr{C}$ 箭頭 $gcirc f:C o E$ 也是一個 $mathscr{I}$ 箭頭

再參照範疇 $mathscr{C}$ 中箭頭組合的定義方法，我們就稱 $mathscr{I}$ 是 $mathscr{C}$ 的一個子範疇。

Set 是 Pfn 的子範疇
FinSet 是 Set 的子範疇
Ab 是 Grp 的子範疇
對於任意一個範疇來說，它對象上的離散範疇是它的一個子範疇

定義13

如果 $mathscr{I}$ 是 $mathscr{C}$ 的一個子範疇，且對於所有 $mathscr{I}$ 對象 $A$ 和 $B$ ， $A$ 到 $B$ 的 $mathscr{I}$ 箭頭是是從 $A$ 到 $B$ 的全部 $mathscr{C}$ 箭頭，那麼我們稱是 $mathscr{C}$ 的一個滿子範疇（full subcategory）。

定義14（積範疇，product category）

如果 $mathscr{C}$ 和 $mathscr{D}$ 是範疇，那麼它們的積範疇 $mathscr{C imes D}$ 定義如下：

對象是對子 $(C,D)$ ，其中 $C$ 是 $mathscr{C}$ 對象， $D$ 是 $mathscr{D}$ 對象
箭頭是對子 $(f,g):(C,D) o (C,D)$ ，其中 $f:C o C$ 是 $mathscr{C}$ 箭頭， $g:D o D$ 是 $mathscr{D}$ 箭頭
對於每一個對子 $(C,D)$ ，我們定義它們的單位箭頭如下： $1_{(C,D)} = (1_C, 1_D)$
複合定義如下： $(f,g)circ (f, g) = (fcirc_mathscr{C} f, gcirc_mathscr{D}g)$

定義15（同餘，congruence）

我們稱 $sim$ 是範疇 $mathscr{C}$ 的箭頭上的同餘關係當且僅當它是一個在尊重複合的等價關係。即 $fsim g$ 是一個滿足下列條件的等價關係：

如果 $fsim g$ ，那麼 $src(f)=src(g)$ ，且 $tar(f)=tar(g)$
如果 $fsim g$ ，那麼在複合有定義的前提下 $fcirc h sim g circ h$ 且 $kcirc fsim k circ g$

定義16（商範疇，quotient category）

設 $mathscr{C}$ 是一個範疇， $sim$ 是範疇 $mathscr{C}$ 的箭頭上的一個同餘關係。那麼 $mathscr{C}/sim$ 是一個以 $mathscr{C}$ 的對象為對象，以 $sim$ 等價類（equivalence classes）為箭頭的一個範疇。

對於拓撲範疇 Top，它的箭頭中的同餘關係就是空間之間的兩個連續映射之間的關係，一個映射可以連續形變成另一個映射，也就是說這兩個映射中存在一個同倫關係（homotopy）。那麼我們就得到了 Top/~，即同倫拓撲範疇 hTop。

定義17（箭頭範疇，arrow categories）

對於一個範疇 $mathscr{C}$ ，從它衍生的箭頭範疇（arrow category） $mathscr{C}^ o$ 有著下列數據：

$mathscr{C}^ o$ 的對象就是 $mathscr{C}$ 中的箭頭
對於兩個 $mathscr{C}^ o$ 對象 $f_1, f_2$ ，一個 $mathscr{C}^ o$ 箭頭 $f_1 o f_2$ 是一個使得下圖交換的一個對子 $(j,k)$ ：

$f:X o Y$ 的單位箭頭定義為 $(1_X,1_Y)$ 。箭頭 $(j,k):f_1 o f_2$ 和 $(j,k):f_2 o f_3$ 的複合定義為 $(jcirc j, kcirc k):f_1 o f_3$ .

定義18（切片範疇，slice category）

設 $mathscr{C}$ 為一個範疇， $I$ 是一個 $mathscr{C}$ 對象。那麼在 $I$ 上的切片範疇 $mathscr{C}/I$ 有下列數據：

對象是對子 $(A,f)$ ，其中 $A$ 是 $mathscr{C}$ 對象， $f:A o I$ 是一個 $mathscr{C}$ 箭頭
箭頭 $(A,f) o (B,g)$ 是一個使得在 $mathscr{C}$ 中 $gcirc j=f$ 的 $mathscr{C}$ 箭頭 $j:A o B$
$(A,f)$ 的單位箭頭是 $mathscr{C}$ 單位箭頭 $1_A:A o A$
對於箭頭 $j:(A,f) o (B,g)$ 以及 $k:(B,g) o (C,h)$ ，它們的複合 $kcirc j:(A,f) o (C,h)$ 是 $mathscr{C}$ 箭頭 $kcirc j:A o C$ 。

同樣地，我們可以定義切片範疇的對偶概念：陪切範疇（co-slice category） $I/mathscr{C}$ ，其箭頭的方向和切片範疇的方向是相反的。

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