範疇論學習筆記3：箭頭的種類

03-01

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學習材料：Category Theory: A Gentle Introduction - Logic Matters，最近更新（2018年1月29日）的版本。這份筆記對應的是第五章。

單態和滿態（monomorphism and epimorphism）

讓我們考慮一下 Set 範疇里的集合函數 $f:A o B$ 。如果只用範疇論的語言來闡述，在什麼情況下我們可以說它是單射（injective, one-to-one）的？

我們可以將 $f$ 的定義域 $A$ 里的元素視為箭頭 $vec{x}:1 o A$ 。其中 $1$ 是一個單元素集合（singleton）。單射意味著： $fcirc vec{x} = fcirc vec{y} Rightarrow vec{x}=vec{y}$ . 如果在 Set 中，一個函數是左可消[除]的（be left-cancellable），那麼這意味著對於任何函數 $f, g$ 我們都有 $fcirc g = fcirc hRightarrow g=h$ 。這個函數也一定是一個單射。反過來，如果一個函數是單射，那麼它就可以左可消除。

定義19（單態，momomorphism）

範疇 $mathscr{C}$ 里的一個箭頭 $f:C o D$ 是一個單態（be monic）當且僅當它是左可消的。即對於每一對平行映射 $g:B o C, h:B o C$ ，如果 $fcirc g = fcirc h$ ，那麼 $g = h$ 。

定理6

Set 里的單態就是單射函數，單射函數就是 Set 里的單態。

定理7

Grp 里的單態就是單射群同態，單射群同態就是 Grp 里的單態。

定義20（滿態，epimorphism）

範疇 $mathscr{C}$ 里的一個箭頭 $f:C o D$ 是一個滿態（be epic）當且僅當它是右可消的。即對於每一對平行映射 $g:D o E, h:D o E$ ，如果 $gcirc f = hcirc f$ ，那麼 $g = h$ 。

定理8

Set 里的滿態就是滿射函數，滿射函數就是 Set 里的滿態。

定理9

單位箭頭永遠是單態，也永遠是滿態。
如果 $f,g$ 是單態，那麼 $fcirc g$ 也是單態；如果 $f,g$ 是滿態，那麼 $fcirc g$ 也是滿態。
如果 $fcirc g$ 是單態，那麼 $g$ 也是單態；如果 $fcirc g$ 是滿態，那麼 $f$ 也是滿態。

我們用 $f:C ightarrowtail D$ 或 $C ightarrowtail^{f} D$ 來表示單態；用 $f:C woheadrightarrow D$ 或 $C woheadrightarrow^f D$ 來表示滿態。

這種標記方法暗藏了單態的左可消性和滿態的右可消性。

定義21（逆箭頭，inverses）

對於範疇 $mathscr{C}$ 里的一個箭頭 $f:C o D$ ，

$g:D o C$ 是 $f$ 的右逆（right inverse）當且僅當 $fcirc g = 1_D$
$g:D o C$ 是 $f$ 的左逆（left inverse）當且僅當 $gcirc f = 1_C$
如果 $g$ 既是 $f$ 的左逆，又是它的右逆，那麼它就是 $f$ 的逆箭頭（inverse）。

注意：上圖中f的右逆g位於f 的左側！

定理10

如果一個箭頭既有左逆，又有右逆，那麼他們是同一個箭頭，且是該箭頭唯一的逆。

定理10的圖證

我們可以把一個幺半群視為一個範疇，同樣地，我們也可以把一個特定的群視為一個範疇。例如，對於一個群 $(G,cdot, e)$ ，我們隨意定義範疇 $mathscr{G}$ 的對象（只有一個），並將範疇 $mathscr{G}$ 的箭頭定義為群的元素。 $e$ 視為單位箭頭。複合定義為群內元素的相乘。推而廣之，如果一個範疇有多個元素，但該範疇的所有箭頭也都有一個逆箭頭，我們就稱這樣的範疇為廣群（groupoid）。

定理11

並不是所有單態都是一個右逆，並不是所有滿態都是一個左逆。
但所有的右逆都是一個單態，所有的左逆都是一個滿態。

定理12

在 Set 里，除了形如 $varnothing o D$ 的箭頭，所有單態都是一個右逆。
選擇公理（the Axiom of Choice）：在 Set 中，所有的滿態都是一個左逆。

2的證明

設 Set 中 $f:C o D$ 是一個滿態，即滿射。假定選擇公理，那麼存在一個函數 $g:D o C$ 將每一個 $din D$ 映射到選定的一個元素 $c$ 中，使得 $f(c) =d$ 。對於這個函數 $g$ ， $fcirc g = 1_D$ ，所以 $f$ 是一個左逆。

反之，假定我們將 $C$ 劃分到不交子集中，以 $D$ 的所有元素做指數（index）。使 $f:C o D$ 為一個把 $C$ 中的對象發送到它歸屬的劃分指數中。 $f$ 是滿射，所以是滿態。設 $f$ 同時也是一個左逆，所以對於一個 $g:D o C, fcirc g = 1_D$ . 那麼 $g$ 明顯是一個選擇函數，從每個劃分中選取一個元素。所以定理 12.2 是選擇公理的一個版本。 $square$

定義22

設 $f:C o D, g:D o C$ ，如果 $gcirc f = 1_C$ ，那麼 $f$ 又被稱為 $g$ 的截面/ㄙㄝㄍㄕㄣ（section）， $g$ 被稱為 $f$ 的回縮/ㄌㄟㄉㄌㄚㄍㄕㄣ（retraction）。 $f$ 是一個截面當且僅當 $f$ 有一個回縮。

定義23

設 $f$ 有一個左逆箭頭，那麼 $f$ 是可裂單態（split monomorphism）；如果 $g$ 有一個右逆箭頭，那麼 $g$ 是一個可裂滿態（split epimorphism）。

選擇公理：每一個滿態在 Set 中都可以分裂。

同構（isomorphisms）

我們是否可藉助 Set 中同構的定義，將同構的定義推廣為既是單態又是滿態的箭頭？不行！因為同構意味著有逆箭頭，而根據定理11，單態和滿態不一定有逆箭頭。例如對於範疇 2，單態和滿態就沒有逆箭頭。再比如，在和一個預序集合 $(S,preccurlyeq)$ 相對應d範疇 $mathscr{I}$ 上，只有單位箭頭有（平凡）逆箭頭。

定義24（同構）

範疇 $mathscr{C}$ 里的同構是一個有逆箭頭的箭頭。我們用 $longrightarrow^{sim}$ 來表示同構。

定理13

單位箭頭是同構
同構 $f:Clongrightarrow^sim D$ 有唯一一個逆箭頭，稱為 $f^{-1}:Dlongrightarrow^{sim} C$ ，使得 $f^{-1}circ f = 1_C, fcirc f^{-1}=1_D, (f^{-1})^{-1}=f$ 。 $f^{-1}$ 也是一個同構
如果 $f$ 和 $g$ 是同構，那麼如果 $gcirc f$ 存在的話，它也是一個同構。 $gcirc f$ 的逆箭頭是 $f^{-1}circ g^{-1}$