範疇論學習筆記4：初始和終結對象、廣義元素

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學習材料：Category Theory: A Gentle Introduction - Logic Matters，最近更新（2018年1月29日）的版本。這份筆記對應的是第六章。

定義27（初始和終結對象, initial and terminal objects）

對象 $I$ 被稱為範疇 $mathscr{C}$ 的初[始]對象當且僅當對於每一個 $mathscr{C}$ 對象 $X$ ，都存在唯一的箭頭 $I o X$ 。

對偶地，對象 $T$ 被稱為範疇 $mathscr{C}$ 的終[結]對象當且僅當對於每一個 $mathscr{C}$ 對象 $X$ ，都存在唯一的箭頭 $X o T$ 。

在有些著作里，terminal 指代「終端對象」，既包括初始對象，也包括終結對象。在這些著作里，終結對象被稱為final objects。

為了表示箭頭的唯一性，我們常用感嘆號來標記： $!:I o X, !:X o T$ 。也可以把源記為 $!_X$ .

如果把偏序集合 $(mathbb{N}, le)$ 視為一個範疇，0 是唯一的初始對象。該範疇沒有終結對象。偏序集合 $(mathbb{Z},le)$ 既沒有初始對象也沒有終結對象。推而廣之，視為範疇的偏序集 $(S,preccurlyeq )$ 有一個初始對象當且僅當該偏序集有一個極小值（minimum），即 $preccurlyeq$ -先於所有其他對象的對象。該範疇有一個終結對象當且僅當該偏序集有一個極大值（maximum）。
在 Set 中，初始對象是空集 $varnothing$ 。任何單元素集合 ${star}$ 都是一個終結對象。
在 Set $_star$ （有點集合範疇，pointed sets category）中，有不同元素的非空集各自既是始對象又是終對象。
在 Poset 中，空偏序集是初對象，任何有著唯一可能的順序關係（單位關係！）的單元素集合都是終對象。
在 Rel 中，空集是唯一的初對象和唯一的終對象。
在 Top 中，空集（視為平凡拓撲空間）是初對象。任何單點單元素空間（one-point singleton space）都是一個終對象。
在 Grp 中，平凡單元素群是一個初對象，也是一個終對象。
在 Bool 中，平凡的單對象代數是一個終對象。而用於表示謂詞邏輯的雙對象（0, 1）代數是初對象。布爾代數從 ${0,1}$ 到 $B$ 的同態必須把 0 映射到 $B$ 的底部對象（bottom object），把 1 映射到 $B$ 的頂部對象（top object），這樣的映射是唯一的。
切片範疇 $mathscr{C}/X$ 中的對象是形如 $f:A o X$ 的 $mathscr{C}$ 箭頭。其中的 $1_X$ 是終對象。

定義28（零對象，null object）

範疇 $mathscr{C}$ 中的對象 $O$ 是一個零對象當且僅當它既是初對象又是終對象。

上至唯一同構的唯一性（uniqueness up to unique isomorphism）

定理18

初始對象，如果存在的話，是上至同構唯一的，即如果在範疇 $mathscr{C}$ 中的 $mathscr{C}$ 對象 $I$ 和 $J$ 都是初始對象，那麼在 $mathscr{C}$ 中存在一個唯一的同構 $f: I o^{sim} J$ 。對於終結對象存在對偶定理。

此外，如果 $I$ 是初始對象，且 $Icong J$ ，那麼 $J$ 也是初始對象。對於終結對象存在對偶定理。

定義29

如果 $mathscr{C}$ 中存在初始或終結對象，我們用 0 來表示 $mathscr{C}$ 中的初始對象，用 1 來表示終結對象。

參見馮·諾依曼序數的定義。

元素和廣義元素（elements and generalized elements）

讓我們先考慮範疇 Set。箭頭 $vec{x} : 1 o X$ 將元素 $xin X$ 一一對應起來。所以在 Set 中我們可以討論這些箭頭，就像討論 $X$ 中的元素一樣。推而廣之，我們可以有如下定義：

定義30（元素/點，element/point）

在有終結對象 $1$ 的範疇 $mathscr{C}$ 中， $mathscr{C}$ 對象 $X$ 里的元素（或稱全局元素，global element）或點是箭頭 $f:1 o X$ .

f,g 是對象X的元素

例如，在 Grp 中，從單元素群 1 到群 $X$ 的同態需要把 1 中的唯一元素映射到群 $X$ 的單位元 $e$ 中，所以只有一種可能的同態： $vec{e}: 1 o X$ ，無論 $X$ 中有多少元素。

定義31（良點範疇，well-pointed category）

假設範疇 $mathscr{C}$ 有一個終結對象。假設對於 $mathscr{C}$ 中的任意對象 $X, Y$ ，以及對於平行箭頭 $f,g:X o Y$ ，如果對於所有 $vec{x}:1 o X, fcirc vec{x} = g circ vec{x}$ ，我們有 $f=g$ 。那麼我們稱該範疇為良點範疇。

集合範疇 Set 是良點的。但 Grp 不是良點的。

定理19

取兩個終結對象 $1$ 和 $1$ ，定義 $mathscr{C}$ 中 $X$ 的兩種不同類型的元素分別為箭頭 $1 o X$ 和 $1 o X$ 。 $mathscr{C}$ 對於第一種元素是良點的當且僅當它對於第二種元素是良點的。

證明：

由於對稱性，我們只需證明一個方向。由於1 和1』是終結目標，故存在唯一同構 $i:1 o 1$ ，設 $vec{x}=vec{x}circ i$ ，則元素 $vec{x}:1 o X$ 和 $vec{x}:1 o X$ 之間存在一一對應關係。設範疇基於第一個元素是良點的，那麼對於所有平行箭頭 $f,g:X o Y$ ，如果 $fcirc vec{x}=gcirc vec{x}$ ，那麼 $fcirc vec{x} = fcirc vec{x} circ i^{-1} = g circ vec{x}circ i^{-1}=gcirc vec{x}$ ，所以 $f=g$ 。由此可證該範疇基於第二個元素是良點的。 $square$