圓錐曲線的極坐標方程

03-12

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預備知識　極坐標的定義

結論

　　圓錐曲線的極坐標方程為

$ho = frac{p}{1-ecos heta}$ 　　(1)

其中 $p$ 是通徑的一半， $e$ 是離心率．

圖1：由離心率定義圓錐曲線

　　圓錐曲線的一種定義（與其他定義等效）為（圖 1 ）：平面上有一點 $O$ 和一條直線 $L$ ，相距為 $h$ ．平面上某一點到 $O$ 的距離為 $ρ$ ，到 $L$ 的（垂直）距離為 $a$ ，令常數 $e>0$ ，則所有滿足

$ho/a = e$ 　　(2)

的點組成的曲線就是圓錐曲線． $e$ 是常數，叫做離心率， $O$ 是焦點， $L$ 是準線．當 $0<e<1$ 時，曲線是橢圓， $e=1$ 時是拋物線， $e>1$ 時是雙曲線．

　　以 $O$ 點為原點，使極軸垂直於準線（如上圖）．則 $a=h+ρcosθ$ ，根據式 2 得

$frac{ ho}{h + hocos heta} = e$ 　　(3)

變形，得

$ho = frac{eh}{1-ecos heta}$ 　　(4)

圖2：不同離心率 e 的圓錐曲線

（剩下部分見頂部的「閱讀原文」）