為什麼全波函數是反對稱的?

03-13

結構化學

我想你可能對其中的更深一層的邏輯關係還不夠清楚，我試著講的詳細一點。

在描述費米子（電子，質子，中子）組成的多粒子體系中，系統原來的波函數為Ψ

假設兩個粒子處於不同的態ψa和ψb,如果我們交換這兩個粒子的狀態，那麼系統的整體波函數會由Ψ變為‐Ψ，這時我們就叫這個體系的波函數具有交換反對稱。

那麼，你想問的應該是為什麼費米子組成的系統具有交換反對稱。

對於一個兩個費米子組成的簡單系統。

我們在列本徵方程進行求解的時候，體系的哈密頓量（總算符）為兩個粒子的哈密頓量之和，H=H1+H2；體系的總能量（本徵值）為粒子1和粒子2的能量之和，E=E1+E2；相應的體系的本徵態就為ψa（1）ψb（2）和ψa（2）ψb（1）.「1和2分別表示兩個粒子」

那麼體系的波函數可以看做兩個本徵態的疊加（態疊加原理），再加上歸一化條件（確定係數）我們可以得到全波函數應該為

Ψ= $frac{1}{sqrt{2} }$ [ψa（1）ψb（2）+ψa（2）ψb（1）]；①

或者Ψ= $frac{1}{sqrt{2} }$ [ψa（1）ψb（2）‐ψa（2）ψb（1）]；②

這兩種都是符合情況的解，哪一個才是費米子體系的全波函數呢？這時，費米子體系下的泡利不相容原理規定一個狀態只能允許一個粒子出現，也就是說每個粒子的狀態都不會相同，換而言之，在ψa態上不可能出現兩個粒子，這兩個粒子只能交換狀態而不能同時擠到同一個態裡面。

既然ψa和ψb表示不同的狀態，如果a=b，那麼就表示兩個粒子就處在了相同的狀態了，這時②中的全波函數Ψ=0，這是不被允許的，也就是說粒子處於相同的狀態是不可能的，而這恰恰就是泡利不相容發原理對應的，所以Ψ= $frac{1}{sqrt{2} }$ [ψa（1）ψb（2）‐ψa（2）ψb（1）]就是費米子體系下的全波函數，這時我們發現它是交換反對稱的，交換粒子的狀態，會變為‐Ψ。

而①可以違背泡利不相容原理，則代表其不是費米子體系下的波函數。

其實Ψ= $frac{1}{sqrt{2} }$ [ψa（1）ψb（2）+ψa（2）ψb（1）]（也就是①）對應的是玻色子系統下的波函數，它對應的是交換全對稱，在費米子系統下不可能出現。

不知道全波函數是啥。。不過是化學裡的估計是電子的波函數吧，電子是費米子，泡利不相容，所以電子系統波函數是反對稱的。