極坐標中的速度和加速度

03-17

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預備知識　速度加速度，極坐標中單位矢量的偏導

　　若已知某點的極坐標關於時間的函數 $r(t)$ 和 $heta(t)$ ，求該點的速度和加速度．

　　極坐標中的位置矢量可以用 $mathbf r = rhat {mathbf r}$ 表示，注意其中徑向單位矢量可以看做複合函數 $mathbf{hat r}[ heta(t)]$ ．根據定義，速度是位矢的一階導數，在力學中經常在變數上面加一點表示對時間的一階導數，兩點表示二階導數，根據矢量的求導法則

$mathbf{v} = dot rmathbf{hat r}+rfrac{mathrm{d}mathbf{hat r}}{mathrm{d}t}$ 　　（1）

上式中

$frac{mathrm{d}mathbf{hat r}}{mathrm{d}t}=frac{mathrm{d}mathbf{hat r}}{mathrm{d} heta}dot heta =dot hetahat heta$ 　　(2)

所以極坐標中的速度為

$mathbf{v}=dot rmathbf{hat r}+r dot hetamathbf{hat heta}$ 　　(3)

這是符合直覺的，徑向速度等於位矢模長的導數，而角向速度等於位矢模長乘以角速度．

　　我們再來計算加速度，用同樣的方法對速度求一階導數得

$mathbf{a}=(ddot r-rdot heta^2)mathbf{hat r}+(2dot rdot heta+rddot heta))hat heta$ 　　(4)

（剩下部分見頂部的「閱讀原文」）