二項式定理（非整數冪）

04-02

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預備知識　二項式定理

　　當 $a,b$ 為實數， $u$ 為非零實數時，有

$(a+b)^u = sum_{i=0}^{+infty} frac{u(u-1)dots (u-i+1)}{i!} a^i b^{u-i}$ 　　(1)

容易看出，當 $u$ 為整數時， $i>u$ 的所有項為 $0$ ，得到整數指數的二項式定理．

數值驗證

　　在學習微積分之前，這裡只給出一個數值驗證的方法（而不是證明）．在微積分中，這個定理可以用泰勒展開推導出來．

　　首先化簡上式，不妨令 $|a|<|b|$ ，把 $b^u$ 提出括弧，再令 $x≡a/b$ ，有 $|x|<1$ ．

$(a+b)^u = b^u (1+x)^u = b^u sum_{i=0}^{+infty} frac{u(u-1)dots (u-i+1)}{i!} x^i$ 　　(2)

所以只要用數值驗證

（剩下部分見頂部的「閱讀原文」）