區域不變性定理 (1): 定理的介紹與基本討論

04-03

One of the theorems of topology that is truly fundamental, because it expresses an intrinsic property of Euclidean space, is the theorem on "invariance of domain."
——James Munkres
拓撲學真正深刻的定理之一便是這個關於「區域不變性」的定理，因為它表述了歐式空間的一個內蘊性質。

在證明這個定理之前，我們將會給出區域不變性定理的一些平凡，但是有用的討論，來讓讀者對此有一定的熟悉度。這裡我們假定讀者有基本的點集拓撲基礎。

定理 $1$ .（區域不變性）設 $U$ 是 $mathbb{R}^n$ 的開集且 $f:U ightarrow mathbb{R}^n$ 是連續單射，那麼
$(1)$ $f(U)$ 也是開集，而且
$(2)$ $f$ 的逆 $f_U^{-1}$ 也連續。（ $f_U$ 是 $f$ 在 $U$ 的restriction）

註： $(1) ightarrow (2)$ 是顯然的。因為假設 $(1)$ 成立我們會得到一個連續雙射 $f_U: U ightarrow f(U)$ 。而 $U$ 的開集也是 $mathbb{R}^n$ 的開集，因此映到 $f(U)$ 里都是開的。這就證明了 $f_U$ 是開映射，因此逆也連續。所以我們只需證明 $(1)$ 。注意以下結果實際上是很容易與定理 $1$ 互相推出的：

定理 $1$ . 假設 $mathbb{R}^n$ 的兩個子集 $U$ 和 $V$ 同胚，那麼 $U$ 開就有 $V$ 開。

由定理 $1$ 很容易得到定理 $1$ 。反過來假設 $f: U ightarrow mathbb{R}^n$ 是連續單射，我們可以取 $U$ 中的一個開球 $O$ ，使得(緊)閉球 $overline{O}subset U$ （易證）。由緊條件我們有 $overline{O}$ 同胚於 $f(overline{O})$ ，因此 $f_O$ 給出了開球 $O$ 和 $f(O)$ 之間的同胚。設定理 $1$ 成立，因此 $f(O)$ 也開。由於任意組成 $U$ 的開球都可以寫成這樣的 $O$ 的並（取所有與 $B_i$ 同心，且直徑小於 $B_i$ 直徑的開球的並即可），這就證明了 $f(U)$ 也是開集。

區域不變性定理是十分有力的定理。實際上，它可以推出 $mathbb{R}^m$ 與 $mathbb{R}^n$ 同胚當且僅當 $m=n$ （這也叫做維度不變性定理）。因為如果假設 $f:mathbb{R}^n ightarrow mathbb{R}^m$ 是同胚，且 $m<n$ ，把 $f$ 和包含映射 $i: mathbb{R}^m hookrightarrow mathbb{R}^n$ 複合，我們得到映入 $mathbb{R}^n$ 超平面的連續單射 $icirc f$ 。而 $icirc f(mathbb{R}^m)$ 不可能是開的： $mathbb{R}^m$ 的超平面上，每一個點的開鄰域都有不在這個超平面上的點。這與區域不變性定理矛盾。

最後我們簡單的給出證明的框架，來讓讀者清楚哪一些坑我們是需要補的。

與其在 $mathbb{R}^n$ 證明這個定理，取而代之我們將在 $S^n$ 證明。 $mathbb{R}^n$ 的情形是 $S^n$ 的簡單推論。我們將給出定理 $1$ .的形式證明的框架。讀者只需要參考配圖了解基本直觀即可。

定理 $2$ .假設 $S^n$ 的兩個子集 $U,V$ 之間存在同胚，那麼 $U$ 開就有 $V$ 開。

證明：假定存在開集 $U$ 到另一子集 $V$ 的同胚。我們取 $yin V$ ，並設 $x$ 是 $y$ 在同胚 $f$ 下的對應點。我們將要證明存在包含在 $V$ 中的 $y$ 的開鄰域。首先易知存在包含 $x$ 的，且與閉圓盤 $D^n$ 同胚的閉鄰域 $D_x$ ， $f$ 給出了它的邊界 $partial(D_x)$ 與 $f(partial(D_x))$ 的同胚。而 $partial(D_x)$ 與 $S^{n-1}$ 同胚，因此 $K=S^n-f(partial(D_x))$ 有兩個開連通單元(path-components，如圖，即內部和外部)。而我們可以把 $K$ 寫作兩個連通集的不交並： $S^n-f(partial(D_x))=f(D_x-partial(D_x)) cup (S^n-f(D_x))$ 。（ $(S^n-f(D_x))$ 的連通性是我們以後要介紹的）。所以可以證明這兩個連通集就是連通單元（留給讀者，易證）。而 $f(D_x-partial(D_x))$ 是包含 $y$ 的開鄰域，且包含在 $V$ 里。這就證明了 $V$ 也是開集。