範疇論學習筆記5：積和余積

04-13

目錄：類型論驛站寫作計劃

前一篇：範疇論學習筆記4：初始和終結對象、廣義元素

後一篇：範疇論學習筆記6：等化子和余等化子

學習材料：Category Theory: A Gentle Introduction - Logic Matters，最近更新（2018年1月29日）的版本。這份筆記對應的是第 7、8 章。

定義33

設 $X,Y,O$ 為對象的集合（它們可同可異）。使 $pr:X,Y o O$ 為一個二元函數， $pi_1:O o X,pi_2:O o Y$ 為一元函數。那麼 $[O,pr,pi_1,pi_2]$ 構成一個為 $X$ 和 $Y$ 配對的格式（a pairing scheme for X with Y）當且僅當

$(a). (forall xin X)(forall y in Y)(pi_1(pr(x,y))=x wedge pi_2(pr(x,y))=y)$

$(b). (forall o in O)pr(pi_1o,pi_2o)=o$

$O$ 的成員被稱為該配對格式的對子對象（pair-object）， $pr$ 被稱為配對函數（pairing function）， $pi_1,pi_2$ 則被稱為拆解函數（unpairing function）或投射函數（projection function）。

如果 $O$ 是以 $2^m3^n$ 的形式呈現的自然數的集合，且 $pr(m,n)=2^m3^n$ ，則 $pi_1o$ 返回 2 的指數（exponent）. 所以 $[O,pr,pi_1,pi_2]$ 是一個自然數集合和自然數集合（ $mathbb{N}, mathbb{N}$ ）的配對格式。Kuratowski 的（集合論）對子定義則提供了（ $mathbb{N}, mathbb{N}$ ）的另一種配對格式。

定理22

如果 $[O,pr,pi_1,pi_2]$ 是一個配對格式，那麼

對象的不同對子由 $pr$ 投射到不同的對子對象上。
$pr, pi_1,pi_2$ 都是滿射（surjective）。

定理23

如果 $[O,pr,pi_1,pi_2]$ 和 $[O,pr,pi_1,pi_2]$ 都是 $X$ 和 $Y$ 的配對格式，那麼 $pi_1=pi_1, pi_2=pi_2$ .
如果 $[O,pr,pi_1,pi_2]$ 和 $[O,pr,pi_1,pi_2]$ 都是 $X$ 和 $Y$ 的配對格式，那麼 $pr=pr$ .

定理24（配對格式上至同構的等價）

如果 $[O,pr,pi_1,pi_2]$ 和 $[O,pr,pi_1,pi_2]$ 都是 $X$ 和 $Y$ 的配對格式，那麼存在唯一的雙射（bijection） $f:O o O$ 使得對於所有的 $xin X,yin Y$ ，我們有 $pr(x,y) = f(pr(x,y))$ .

定理25

設 $X,Y,O$ 是對象的集合，函數 $pi_1 :O o X,pi_2:O o X$ 可以使得存在唯一一個滿足條件 (a) 的二元函數 $pr:X,Y o O$

$(forall xin X)(forall y in Y)(pi_1(pr(x,y))=x wedge pi_2(pr(x,y))=y)$

那麼 $[O,pr,pi_1,pi_2]$ 也滿足條件 (b)，所以構成了一個配對格式。

定義34（積，product）

如果 $X,Y$ 是集合，那麼只要存在一個滿足條件 (a) 的唯一的二元函數 $pr:X,Y o O$ ， $[O,pi_1,pi_2]$ 就構成了 $X$ 和 $Y$ 的一個積（product），其中 $O$ 是一個集合， $pi_1:O o X,pi_2:O o Y$ 是函數。

定義35（對象積，product of objects）

在任何一個範疇 $mathscr{C}$ 中，對象 $X$ 和 $Y$ 的一個（二元，binary）積 $[O,pi_1,pi_2]$ 是一個對象 $O$ ，加上「投射」箭頭 $pi_1:O o X,pi_2:O o Y$ ，使得對於任何一個對象 $S$ 以及箭頭 $f_1:S o X$ 和 $f_2:S o Y$ ，總有一個唯一的「中介」（mediating）箭頭 $u:S o O$ 使得下面的範疇圖可交換（commutes）。

在範疇圖中，我們用虛線箭頭 $dashrightarrow$ 來表示一個受到「範疇圖可交換」要求限定的唯一固定的箭頭。範疇圖相交即對於任何兩個對象，它們之間的所有路徑的效果都是一樣的。範疇論里的可交換圖（commutative diagrams）對應著代數里的方程。

在 Set 中，笛卡兒積可以視為 $X$ 和 $Y$ 的元素構成的Kuratowski對子 $langle x, y angle$ 的集合 $X imes Y$ ，再加上明顯的投射函數 $langle x,y angle longmapsto^{pi_1} x$ 以及 $langle x,y angle longmapsto^{pi_2} y$ ，就構成了一個二元積。
在群論里，群 $mathcal{G}=(G,cdot, e_{G})$ 和 $mathcal{H}=(H,odot,e_H)$ 的直積（direct product），再加上映射 $langle g,h angle$ 到 $g$ 和 $h$ 的兩個投射函數，就構成了 Grp 中這些群的範疇積（categorial product）。
拓撲空間的積加上投射函數，也就構成了 Top 中拓撲空間的範疇積。
下面讓我們關注對象為命題，即一階語言 $mathscr{L}$ 的合式公式（wffs），的範疇 $extsf{Prop}_mathscr{L}$ 。存在一個唯一的從 $X$ 到 $Y$ 箭頭當且僅當 $XvDash Y$ ，即 $X$ 語義蘊含 $Y$ （semantic entailment）。語義蘊含的自反性和傳遞性使我們得以定義該範疇的單位箭頭和複合法則。 $X$ 和 $Y$ 的範疇積就是它們的邏輯積，即合取： $Xwedge Y$ ，再加上投射 $Xwedge Y o X$ 以及 $Xwedge Y o Y$ 。
如果們把一個偏序集合 $(P,preccurlyeq)$ 視為一個範疇（ $p o q ext{iff} ppreccurlyeq q$ ）。那麼 $p$ 和 $q$ 的積就是一個對象 $c$ ，使得 $cpreccurlyeq p, cpreccurlyeq q$ ，以及對於任何一個有到 $p$ 和 $q$ 的箭頭的對象 $d$ ，即任何一個 $d$ ，使得 $dpreccurlyeq p, dpreccurlyeq q$ ，存在唯一的一個從 $c$ 到 $d$ 的箭頭，即 $dpreccurlyeq c$ 。也就是說， $p$ 和 $q$ 的範疇積必須是它們的並（meet），或最大下界（加上兩個明顯的箭頭）。

由偏序集合可見一個範疇不一定有對象的範疇積。

除了上面的定義方式以外，我們還可以把積視為終對象（terminal objects）。

定義36（楔子，wedge）

範疇 $mathscr{C}$ 里的一個到 $X$ 和 $Y$ 的楔子（wedge）是一個對象 $S$ 以及一對箭頭 $f_1:S o X, f_2:S o Y$ 。

楔子

是 $X$ 和 $Y$ 的積當且僅當對於任意一個其他楔子

都存在一個唯一的態射 $u$ 使得下面的範疇圖可交換：

我們可以說 $f_1$ 因子分解（factors）為 $pi_1circ u$ ，所以從 $S$ 到 $X$ 和 $Y$ 的楔子整體上唯一地經由中介箭頭 $u$ 因子通過（factors through）積。

藉助楔子的概念，我們又可以把範疇積的定義重新表述如下：

定義37（楔子範疇，wedge category）

對於一個範疇 $mathscr{C}$ 及其對象 $X,Y$ ，派生的楔子範疇 $mathscr{C}_{W(XY)}$ 有如下數據：對象數據是所有到 $X,Y$ 的楔子 $[O,f_1,f_2]$ 。從 $[O,f_1,f_2]$ 到 $[O,f_1,f_2]$ 的箭頭是一個 $mathscr{C}$ 箭頭 $g:O o O$ ，使得兩個三角形可交換，即 $f_1=f_1circ g, f_2 = f_2 circ g$ 。 $[O,f_1,f_2]$ 的單位箭頭是 $1_O$ ， $mathscr{C}_{W(XY)}$ 中箭頭的複合就是它們在 $mathscr{C}$ 中的複合。

定義38（範疇積）

範疇 $mathscr{C}$ 的對象 $X,Y$ 的積是派生範疇 $mathscr{C}_{W(XY)}$ 的一個終結對象。

上至唯一同構的唯一性

對於任意對象 $X,Y$ ，它們的範疇積不一定存在；即使存在，也不一定嚴格唯一。但是，當積存在時，它們上至範疇是唯一的（參見定理24）。

定理26

如果 $[O,pi_1,pi_2]$ 和 $[O,pi_1,pi_2]$ 是 $mathscr{C}$ 中的對象 $X,Y$ 的積，那麼存在一個唯一與投射箭頭可交換（commute with），即 $pi_1circ f = pi_1, pi_2 circ f = pi_2$ ，的同構 $f:Oxrightarrow{sim}O$ 。

同構不一定唯一，但與投射可交換的同構是唯一的。

證明

$[O,pi_1,pi_2]$ 和 $[O,pi_1,pi_2]$ 都是 $mathscr{C}_{W(XY)}$ 的終結對象。根據定理18，這兩個對象之間存在唯一的 $mathscr{C}_{W(XY)}$ -同構 $f$ 。根據定義，這個同構必須是與映射箭頭可交換的 $mathscr{C}$ 箭頭 $f:O o O$ 。 $mathscr{C}_{W(XY)}$ 中的一個同構明顯也是 $mathscr{C}$ 中的一個同構。 $square$

積以及終結和初始對象都是泛映射性質/普遍映射性質（universal mapping properties）。

余積（Coproduct）

定義39（余件，co-widget）

一個範疇論里的部件（widget）通常有對偶的定義：余件（co-widget）。範疇 $mathscr{C}$ 里的余件是 $mathscr{C}^{op}$ 里的部件。

定義40（余積，coproduct）

在任意範疇 $mathscr{C}$ 里，對象 $X$ 和 $Y$ 的（二元）余積 $[O,iota_1,iota_2]$ 是一個對象 $O$ 加上兩個「注射」（injection）箭頭 $iota_1:X o O,iota_2: Y o O$ ，使得對於任何一個對象 $S$ 以及箭頭 $f_1:X o S$ 和 $f_2:Y o S$ ，都永遠有一個唯一的中介（mediating）箭頭 $v:O o S$ ，使得下面的範疇圖可交換：

$X$ 和 $Y$ 的（二元）余積里的對象 $O$ 通常記為 $Xoplus Y$ 或 $Xsqcup Y$ 。

這裡的 injection 不是單射的意思，故譯為「注射」。

我們稱狀如 $X xrightarrow[iota_1]{} Oxleftarrow[iota_2]{} Y$ 的對象和箭頭構成了一個旮旯/角落/隅角（corner），或稱「余楔」（co-wedge）。那麼余積可以被認為是一個經由旮旯頂邊的唯一映射因子通過（factor through）任何其他旮旯的旮旯。

在 Set 中，余積實現為不交並（disjoint unions）。
在 $extsf{Prop}_L$ 中，余積實現為析取（disjunction），記為 $vee$ 。（符號 $wedge$ 在英文中叫做wedge，即楔子，而我們恰恰可以用它來定義積，在邏輯中對應合取。）
若將一個偏序集合視為一個範疇，那麼余積是最小上界加上兩個箭頭。
在 Grp 中，余積被稱為自由積（free products）。
在 Ab 中，由於阿貝爾群的自由積不一定是一個阿貝爾群，所以這個情況下的余積需要另外定義。

二元積的一些特性

定理27

在有終結對象 1 的範疇中，

（1）積 $1 imes X$ 和 $X imes 1$ 存在，且 $1 imes X cong Xcong X imes 1$

在一個有著相應的積的範疇中，

（2） $X imes Y cong Y imes X$

（3） $X imes (Y imes Z)cong (X imes Y) imes Z$

定理28

存在一些範疇，它們裡面的積 $0 imes X$ 或 $X imes 0$ 永遠存在，但並不一定和 0 同構。

定理29

如果 $1xleftarrow{!_1 imes X} 1 imes X xrightarrow{i}X$ 是一個積，那麼 $i$ 是一個同構。對於鏡像也有同樣的結果。

如果我們有一對平行複合箭頭（共享投射函數 $pi_1$ ） $X imes Y xrightarrow{pi_1} X ightrightarrows^f_g X$ 。如果 $fcirc pi_1=gcirc pi_1$ ，那麼 $f$ 不一定等於 $g$ 。

中介箭頭的一些特性

定義41

設 $[O,pi_1,pi_2]$ 是一個對象 $X$ 和 $Y$ 構成的二元積。設楔子 $Xxleftarrow{f_1} Sxrightarrow{f_2}Y$ 經由一個唯一的中介箭頭 $u:S o O$ 因子通過這個積，使得下面的範疇圖可交換：

那麼這個唯一的中介箭頭 $u$ 就被記為 $langle f_1,f_2 angle$ 。

定理30

如果 $langle f_1,f_2 angle=langle g_1, g_2 angle$ ，那麼 $f_1=g_1$ 且 $f_2=g_2$ 。

定理31

對於積 $[X imes Y, pi_1,pi_2]$ 和箭頭 $S ightrightarrows^u_v X imes Y$ ，如果 $pi_1circ u = pi_1circ v$ 且 $pi_2circ u = pi_2circ v$ ，那麼 $u=v$ 。

定義42

假設我們在研究一個有著相應的積的範疇，那麼楔子 $Xxleftarrow{1_X}Xxrightarrow{1_X}X$ 必然唯一地經由箭頭 $delta_X:X imes X$ 因子通過積 $X imes X$ 。唯一箭頭 $delta_X$ ，即 $langle 1_X,1_X angle$ ，是一個對角態射（diagonal morphism）。

定理32

對於一個箭頭 $q:S o X$ ， $delta_Xcirc q = langle q, q angle$ 。

定理33

假定 $langle f,g angle$ 和 $e$ 可以複合（compose），那麼 $langle f,g angle circ e=langle fcirc e, gcirc e angle$ 。

定理34

對於平行箭頭 $S ightrightarrows_{f_2}^{f_1} X, (f_1 eq f_2)$ ，至少存在四個不同的箭頭 $S o X imes X$ 。

兩個積之間的映射

定義43

給定箭頭 $f:X o X,g:Y o Y$ ，以及積 $[X imes Y,pi_1,pi_2]$ 和 $[X imes Y, pi_1,pi_2]$ ，那麼 $f imes g:X imes Y o X imes Y$ 是使得 $pi_1circ f imes g = fcirc pi_1, pi_2 circ f imes g=g circ pi_2$ 的唯一箭頭。

定理35

假設我們有箭頭 $f:X o X,g:Y o Y$ ，以及一個順序交換同構 $o:X imes Y o Y imes X$ ，那麼 $ocirc (f imes g)=(g imes f)circ o$ 。

定理36

假設在一個有著二元積的範疇中我們有平行箭頭 $f,g:X o Y$ ，那麼箭頭 $langle f,g angle$ 和 $(f imes g)circ delta_X$ 相等。

定理37

假設存在箭頭

$Xxrightarrow{f}Xxrightarrow{j} X\ Yxrightarrow{g}Yxrightarrow{k} Y\$

假設存在積 $[X imes Y,pi_1,pi_2],[X imes Y,pi_1,pi_2], [X imes Y,pi_1,pi_2],$ 那麼 $(j imes k)circ (f imes g) =(j circ f) imes (kcirc g)$ .

有限[元]積（finite products）

定義44（三元積 ternary product）

對於任何一個範疇 $mathscr{C}$ ，一個三元積 $[O,pi_1,pi_2,pi_3]$ 的對象和映射函數可以參考二元積進行定義。對於任何一個對象 $S$ 和箭頭 $f_i:S o X_i$ ，都存在唯一的箭頭 $u:S o O$ ，使得 $f_i = pi_icirc u$ 。

定理38

如果對於範疇 $mathscr{C}$ 里的對象 $X_1,X_2,X_3$ ，存在三元積 $[O,pi_1,pi_2,pi_3]$ 和 $[O,pi_1,pi_2,pi_3]$ ，那麼存在唯一的同構 $f:Oxrightarrow{sim} O$ 與映射箭頭可交換。

定理39

二元積 $(X_1 imes X_2) imes X_3$ 可以形成 $X_1,X_2,X_3$ 的一個三元積。

定義45

範疇 $mathscr{C}$ 有所有的二元積（has all binary products）當且僅當對於所有 $mathscr{C}$ 對象 $X$ 和 $Y$ 都存在一個它們之間的二元積。

範疇 $mathscr{C}$ 有所有的有限積（has all finite products）當且僅當對於 $nge 0$ ，所有 n 個 $mathscr{C}$ 對象都存在一個它們之間的 n 元積。

定理40

一個範疇 $mathscr{C}$ 有所有的有限積當且僅當它有一個終結對象且有所有的二元積。

無限[元]積（infinite products）

定義46

以集合 $J$ 的元素 $j$ 為 $mathscr{C}$ 對象 $X$ 標號為 $X_j$ 。那麼 $X_j$ 的積，如果存在的話，是一個對象 $O$ 加上投射箭頭（projection arrow） $pi_j:O o X_j$ 。對於任何對象 $S$ 和箭頭組 $f_j:S o X_j$ ，總有一個唯一的箭頭 $u:S o O$ ，使得 $f_i = pi_icirc u$ 。

定義47

範疇 $mathscr{C}$ 有所有的小積（has all small products）當且僅當對於任何對象 $X_j$ ，其中 $jin J$ ，這些對象都有著一個積。我們把這個 $X_j$ ，其中 $jin J$ ，的積里的對象記為 $prod_{jin J} X_i$ 。

題圖：凱特王妃不管在哪個旮旯（corner）都喜歡穿楔形鞋（wedge）
來源：Is Kate a Style Icon? Also, LK Bennett Looks for Fall - What Kate Wore

目錄：類型論驛站寫作計劃

前一篇：範疇論學習筆記4：初始和終結對象、廣義元素

後一篇：範疇論學習筆記6：等化子和余等化子