點集拓撲中的連續

04-17

《基礎拓撲學》（北京大學出版社，尤承業編著）第24頁講了同胚映射。定義如下：

定義1
如果 $f:X ightarrow Y$ 是一一對應，並且 $f$ 極其逆映射 $f^{-1}:Y ightarrow X$ 都是連續的，則稱 $f$ 是一個同胚映射，或稱拓撲變換，或簡稱同胚。當存在 $X$ 到 $Y$ 的同胚映射時，就稱 $X$ 與 $Y$ 同胚，記作 $Xsimeq Y$ 。

以前看到這裡，也是以為很好懂，就是一映射而已。這樣想的時候，其實是沒有充分理解連續性，沒有充分理解什麼是拓撲空間中的連續。所以書中接下來舉了一個例子，我當即表示大惑不解。

例子1
值得提醒的是同胚映射中條件 $f^{-1}$ 連續不可忽視，它不能從一一對應和 $f$ 連續推出。例如設 $S^{1}$ 是複平面上的單位圓周，規定 $f:[0,1) ightarrow S^{-1}$ 為 $f(t)=e^{i2pi t}$ 。則 $f$ 是一一對應，並且連續，但 $f^{-1}$ 不連續。譬如 $[0,{1over {2}})$ 是 $[0,1)$ 的開集，但是 $(f^{-1})^{-1}left( [0,{1over 2}) ight) =fleft( [0,{1over 2}) ight)$ 是包含1的上半圓，1不是它的內點，因此不是開集。如圖

$f^{-1}$ 為啥不連續啊。。。 $[0,{1over 2})$ 是 $[0,1)$ 的開集又是什麼鬼。。。這裡我們需要明白，映射是否連續，是取決與拓撲空間如何構造的。見連續的定義：

定義2

設 $X$ 和 $Y$ 都是拓撲空間， $f:X ightarrow Y$ 是一個映射， $xin X$ 。如果對於 $Y$ 中 $f(x)$ 的任一鄰域 $V$ , $f^{-1}(V)$ 總是 $x$ 的鄰域，則說 $f$ 在 $x$ 處連續。

注意定義2的連續是一個局部的連續概念，把這個局部連續的性質推廣到集合 $X$ 上的每個點的話，就說 $f:X ightarrow Y$ 是連續映射。連續映射是一個整體概念。

定義2到底是什麼意思呢。數學家為了避免歧義，總是說話顯得很啰嗦。其實定義2完全可以表述為「對包含 $f(x)$ 的每個開集 $V$ ，必存在包含 $x$ 的開集 $U$ ，使得 $f(U)subset V$ 。」再換個詳細的表述就是：

對於從 $(X, au_{x})$ 所構成的拓撲空間到 $(Y, au_y)$ 構成的拓撲空間上的映射 $f$ 如果連續，則對於 $au_y$ （即拓撲規定的 $Y$ 的子集族）來說： $forall xin X, forall V in au_y,$ 如果 $f(x) in V$ ，那麼的一定能在 $au_x$ （也即拓撲規定的 $X$ 的子集族）中至少找到一個元素 $U$ ，使得 $xin U$ ，並且 $U$ 中所有元素在 $f$ 的映射下在Y中構成的集合 $f(U)subset V$ 。

也就是說除了元素之間的對應以外，想要滿足拓撲空間到拓撲空間之間的映射連續，需要兩個空間的開集也滿足某種對應關係，比如下圖：

假設 $X$ 與 $Y$ 是有離散點構成的集合，元素名稱自上而下分別為 $x_i,y_i,(i = 1,2,3,4,5)$ 。規定 $X$ 上的拓撲為 $au_x = {X,{x_1,x_2,x_3}, {x_4,x_5}, emptyset }$ ，規定Y上的拓撲為 $au_y = { Y, {y_1,y_2},{y_1,y_2,y_4},{y_4},emptyset }$ 。則如上的連線所構成的映射 $f$ 是連續的。可以對每個 $f(x_i)$ 進行考察。比如 $f(x_3)=y_2$ , 取 $y_2$ 的任一鄰域，比如集合 $V = {y_1,y_2,y_3,y_5}$ , 那麼 $f^{-1}(V) = U ={x_1,x_2,x_3}$ ,顯然 $U$ 是 $x_3$ 的一個鄰域。於是 $f$ 在 $x_3$ 這一點處連續。考察各個 $x_i$ 之後可以得出結論， $f:X ightarrow Y$ 是連續的。

不滿足這種對應關係，則哪怕 $f$ 是一一映射，它也不連續。比如下圖

我們同樣考察 $x_3$ 。 $f(x_3)=y_3,$ 取 $y_3$ 的一個鄰域 $V={y_2,y_3}, f^{-1}(V)= U = {x_2,x_3}$ 。根據 $X$ 上的拓撲 $au_x = {X,{x_1,x_2},{x_4},{x_1,x_2,x_4},emptyset}$ 可知， $x_3$ 的鄰域只有 $X$ 。所以 $U$ 不是 $x_3$ 的鄰域，所以 $f:X ightarrow Y$ 不是連續映射。

理解了這些，我們再回頭來看例子1。

例子1

值得提醒的是同胚映射中條件 $f^{-1}$ 連續不可忽視，它不能從一一對應和 $f$ 連續推出。例如設 $S^{1}$ 是複平面上的單位圓周，規定 $f:[0,1) ightarrow S^{-1}$ 為 $f(t)=e^{i2pi t}$ 。則 $f$ 是一一對應，並且連續，但 $f^{-1}$ 不連續。譬如 $[0,{1over {2}})$ 是 $[0,1)$ 的開集，但是 $(f^{-1})^{-1}left( [0,{1over 2}) ight) =fleft( [0,{1over 2}) ight)$ 是包含1的上半圓，1不是它的內點，因此不是開集。如圖

同胚要求兩個方向的映射都要連續，而連續又離不開拓撲。那麼我們規定 $X=[0,{1}), au_x$ 取 $X$ 的離散拓撲（所以對於任意 $f:X ightarrow Y$ 都是連續的），而對於 $S^1$ 構成的點集Y, 取 $au_y ={Y,$ 左半圓, $emptyset }$ 。那麼 $(f^{-1})^{-1}left( [0,{1over 2}) ight) =fleft( [0,{1over 2}) ight)$ 是包含1的上半圓，對於所有屬於右半圓的點，它都不是鄰域。至此就舉出了一個一一映射並且一個方向連續而另一個方向不連續的例子，但是我明白，我舉的這個例子並不是書上的原意思。書上具體是什麼意思，有點模糊，因為書上沒有明確的說出針對這兩個點集採用的是什麼拓撲。