傅里葉級數（三角）

04-18

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預備知識　幾何矢量，定積分

結論

　　滿足狄利克雷條件的周期函數 $f(x)$ （周期為 $2l$ ）可以使用以下三角函數展開

$\ f( x ) = frac{a_0}{2} + sum_{n = 1}^{infty} a_n cos left( {frac{npi}{l}x} ight)+ sum_{n = 1}^infty b_n sinleft ({frac{npi}{l}x} ight)$ (1)

其中

$\ a_n = frac{1}{l} int_{ - l}^l f( x )cosleft({frac{npi}{l}x} mathrm d{x} ight)$ (2)

$\ b_n = frac{1}{l} int_{ - l}^l f( x )sinleft({frac{npi}{l}x} mathrm d{x} ight)$ (3)

狄利克雷條件：函數值有限，存在有限個間斷點和有限個極值點．

說明

　　注意式 1 的所有 $a_n$ 項為偶函數項，所有 $b_n$ 項為奇函數項．若 $f(x)$ 是偶函數，所有 $b_n$ 項為零，若是奇函數，則所有 $a_n$ 項為零1．如果 $f(x)$ 不具有奇偶性，可以表示為偶函數和奇函數之和，分別對應所有 $a_n$ 項和所有 $b_n$ 項

$\f(x) = frac12 [f(x)+f(-x)] + frac12 [f(x)-f(-x)]$ (4)

$f(x)$ 的函數值既可以是實數也可以是複數．實函數的展開係數 $a_n$ , $b_n$ 也必須取實數，複函數的展開系一定不全是實數．

完備性

（剩下部分見頂部的「閱讀原文」）