V|微分與不定積分

04-19

時隔多年的再次更新（其實是因為沒事幹）

這次的更新對標周民強書第五章部分，抄了幾本不同的書然後拼接而成。

1.傅里葉分析回顧（摘自菲赫金哥爾茨）

定理1 若函數 $g(x):mathbb{R} ightarrowmathbb{R}$ 在閉區間 $[0,h] (h>0)$ 上是單調有界的，那麼 $lim_{p ightarrowinfty }int_0^h g(t)frac{sin pt}{t} mathrm{d}t=frac{pi }{2} g(0+)$

證明我們可以把這個積分寫成如下的兩項之和： $int_0^h g(t)frac{sin pt}{t} mathrm{d} t=int_0^h [g(t)-g(0+)]frac{sin pt}{t} mathrm{d} t+g(0+)int_0^h frac{sin pt}{t} mathrm{d} t$

注意到 $g(0+)int_0^h frac{sin pt}{t} mathrm{d} t=g(0+)int_0^{ph}frac{sin z}{z} mathrm{d} z ightarrow g(0+)frac{pi }{2}$ 當 $p ightarrowinfty$ ，因此我們只需要證明 $lim_{p ightarrowinfty } int_0^h [g(t)-g(0+)]frac{sin pt}{t} mathrm{d} t=0$ .對於任意的 $varepsilon >0$ ，選取 $0<deltaleq h$ 使得對於任意的 $0<tleqdelta$ 都有 $g(t)-g(0+)<varepsilon$ 成立，從而我們可以把積分寫成 $(int_0^{delta } +int_{delta }^h )[g(t)-g(0+)]frac{sin pt}{t} mathrm{d} t=I_1 +I_2$

$I_2$ 當 $p$ 充分大時顯然很小，而對於 $I_1$ ，應用積分第二中值定理，存在 $0<eta <delta$ 使得 $int_0^{delta } (g(t)-g(0+))frac{sin pt}{t} mathrm{d} t=(g(delta )-g(0+))int_{eta }^{delta }frac{sin pt}{t} mathrm{d} t=(g(delta )-g(0+))int_{peta}^{pdelta }frac{sin z}{z} mathrm{d} z$ 式中 $g(delta )-g(0+)<varepsilon$ ，而第二項關於 $p$ 是一致有界的，因此定理得證。

定理2（Jordan-Dirichlet）若函數 $f:mathbb{R} ightarrowmathbb{R}$ 在區間 $[x_0 -h,x_0 +h] (h>0,x_0 inmathbb{R} )$ 上有界變差，那麼它的傅里葉級數在點 $x_0$ 處收斂到 $frac{f(x_0 +)+f(x_0 -)}{2}$

證明我們只需要考慮積分 $ho_n (x_0 )=frac{1}{2pi }int_0^h (f(x_0 -t)+f(x_0 +t))frac{sin (n+frac{1}{2} )t}{sinfrac{t}{2} } mathrm{d} t=frac{1}{pi }int_0^h (f(x_0 +t)+f(x_0 -t))frac{frac{t}{2}}{sinfrac{t}{2} }frac{sin (n+frac{1}{2} )t}{frac{t}{2} } mathrm{d} t$

注意到 $(f(x_0 +t)+f(x_0 -t))frac{frac{t}{2}}{sinfrac{t}{2}}$ 是有界變差函數，因此這個函數可以寫成兩個單調函數的差，應用上面的定理我們得到 $lim_{n ightarrowinfty } ho_n (x_0 )=frac{pi }{2}frac{1}{pi } (f(x_0 +)+f(x_0 -))=frac{f(x_0 +)+f(x_0 -)}{2}$

注記號 $finmathrm{Lips}1$ 的意思是 $f$ 滿足1階的Lipschitz條件。

定理若函數 $finmathrm{AC} [a,b]$ ，那麼 $f$ 把 $[a,b]$ 上的可測集映到可測集。

證明 $f$ 絕對連續 $Rightarrow$ $f$ 連續，因此 $f([x,y])$ 是 $mathbb{R}$ 中的一個閉區間， $f((x,y))$ 在 $mathbb{R}$ 中是一個開區間或者半開半閉區間，其中 $x,y$ 是 $[a,b]$ 上的兩個數，滿足 $x<y$ ，因此 $f$ 把 $[a,b]$ 上所有Borel集映到 $mathbb{R}$ 中的Borel集。又絕對連續函數把零測集映到零測集，因此 $f$ 把任何勒貝格可測集映到勒貝格可測集。

2.牛頓--萊布尼茨公式（摘自 @張辰LMY 的知乎回答）

定理若函數 $f$ 在區間 $[a,b]$ 上面處處可微，並且 $f$ 在區間 $[a,b]$ 上面勒貝格可積，那麼 $int_a^b f(x) mathrm{d} x=f(b)-f(a)$

證明由勒貝格定理應該有不等式 $int_a^b vert f(x)vert mathrm{d} xleqvert f(b)-f(a)vert$ 成立，因此我們只需要證明另一邊，即 $int_a^b vert f(x)vert mathrm{d} xgeqvert f(b)-f(a)vert$ 即可。為此，對給定的 $varepsilon >0$ ，考慮控制函數 $F(x)=sum_{n=1}^{infty } c_n mathrm{m} (G_n cap [a,x])$ ，其中 $E_n ={xin [a,b]:c_{n-1} leqvert f(x)vertleq c_n }$ ， $c_n =frac{nvarepsilon }{b-a}$ ， $G_n$ 是包含 $E_n$ 的有界開集並且滿足 $mathrm{m} (G_n )leqmathrm{m} (E_n )+frac{varepsilon }{c_n 2^n }$ ，因此有 $0leq c_n mathrm{m} (E_n )-int_{E_n } vert f(x)vert mathrm{d} xleqfrac{varepsilon }{b-a}mathrm{m} (E_n )$ 對每個自然數 $ninmathbb{N}$ 都成立，從而 $F(b)leqsum_{m=1}^{infty } c_n mathrm{m} (G_n )leqsum_{m=1}^{infty } c_n mathrm{m} (E_n )+varepsilon <intvert fvert +2varepsilon$ 。下證 $vert f(b)-f(a)vertleq F(b)$ ，為此，令 $au =sup{x:vert f(x)-f(a)vertleq F(x)}$ ，反證而設 $au <b$ ，那麼對於任何的 $bgeq x_0 > au$ ，有 $vert f(x_0 )-f(x)vertleqvert f( au )-f(a)vert +vert f(x_0 )-f( au )vertleq F( au )+vert f(x_0 )-f( au )vert$

存在 $kinmathbb{N}$ 使得 $auin E_k$ ，因此有 $vert f( au )vert <c_k$ ，利用導數的定義，存在 $au$ 的一個開鄰域 $U( au )$ 使得對任意的 $xin U( au )$ 都有 $vert f(x)-f( au )vert <c_k vert x- auvert$

現在取 $x_0 in G_k cap U( au )$ ，那麼就有 $vert f(x_0 )-f(a)vertleq F( au )+vert f(x_0 )-f( au )vert <F( au )+c_k vert x_0 - auvertleq F(x_0 )$

與假設矛盾，因此 $au =b$ ，從而有不等式 $vert f(b)-f(a)vertleqint_a^b vert f (x)vert mathrm{d} x$ 成立，定理證畢。

3.關於迪尼導數（摘自Bucker"實函數的微分"）

定理若 $finmathrm{C} ([a,b])$ , $x_0 in [a,b]$ ，那麼

$mathrm{D}^+ f$ 在點 $x_0$ 連續 $Leftrightarrow$ $f$ 的所有迪尼導數都在 $x_0$ 連續，並且 $f(x_0 )$ 存在。
$lim_{x ightarrow x_0 }mathrm{D}^+ f(x)=lRightarrowlim_{x ightarrow x_0 }mathrm{D}_+ f(x)=l$
$f$ 的所有迪尼導數在 $[a,b]$ 上幾乎處處有限 $Leftrightarrow$ $f$ 在 $[a,b]$ 上幾乎處處可微

為了證明這個結論，我們先來證明一個引理：

引理若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續，那麼 $f$ 的各階迪尼導數和差商 $frac{f(x)-f(y)}{x-y}$ 有共同的上下界。

證明我們先對右迪尼導數進行證明。先考慮上確界的情況。假如存在 $M$ 使得 $mathrm{D}^+ f(x)>M$ ，那麼根據定義，存在 $x_1 >x$ 使得 $frac{f(x_1 )-f(x)}{x_1 -x} >M$ ，因此 $supfrac{f(x)-f(y)}{x-y}geqsupmathrm{D}^+ fgeqsupmathrm{D}_+ f$

假設存在 $x_1 ,x_2 in [a,b]$ 使得 $frac{f(x_1 )-f(x_2 )}{x_1 -x_2 }=M$ ，那麼考慮函數 $G(x)=f(x)-Mx$ ，這個函數在 $x_1$ 與 $x_2$ 處取值相同，因此必然存在 $x_3 in [x_1 ,x_2 ]$ 使得 $G$ 在點 $x_3$ 處取得最小值，而不論是何種情況都必然存在一個 $y$ 使得 $mathrm{D}^+ fgeq M$ ，因此有 $supmathrm{D}^+ f=supmathrm{D}^- f=supfrac{f(x)-f(y)}{x-y}$ 。對其餘的情況可以類似地證明。

定理的證明 根據引理可以直接得到第一個和第二個結論；對第三個結論，由於 $mathrm{D}^+ f$ 是可測且幾乎處處有界，應用盧津（Lusin）定理就存在一個閉集 $F_k$ 滿足 $mathrm{m} ([a,b]setminus F_k )<frac{1}{k}$ 並且 $mathrm{D}^+ f$ 在 $F_k$ 上連續，用前兩個結論立刻得到 $f$ 在 $F_k$ 上可微，令 $k ightarrowinfty$ 就有 $f$ 在 $[a,b]$ 上幾乎處處可微。