範疇論學習筆記12：函子和極限

04-21

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學習材料：Category Theory: A Gentle Introduction - Logic Matters，最近更新（2018年1月29日）的版本。這份筆記對應的是第 17章。

在上一章中（筆記11，原書16章），我們注意到函子 $F:mathscr{J o C}$ 保存或反映範疇 $mathscr{J}$ 的某些特質。如果函子是忠實的或全乎的，還可以保存或反映更多的特徵。

那麼，函子在保存或反映極限以及余極限中的表現又是如何呢？

定義90（範疇圖作為函子，diagrams as functors）

給定範疇 $mathscr{C}$ ，和小範疇 $sf J$ ，我們稱函子 $D: extsf{J} o mathscr{C}$ 為 $mathscr{C}$ 中一個形狀為 $sf{J}$ 的一個範疇圖。

範疇圖函子在目標範疇中繪製了源範疇的一個圖像。

定義91（錐、極限錐的重新定義）

假設我們有一個範疇 $mathscr{C}$ ，加上一個（有可能很小的）範疇 $sf J$ ，以及一個範疇圖函子（diagram-as-functor） $D: extsf{J} o mathscr{C}$ ，那麼

$D$ 上的錐（cone）是一個對象 $Cin mathscr{C}$ ，加上為每一個 $sf J$ 對象 $J$ 所配備的箭頭 $c_J:C o D(J)$ ，使得對於任何 $sf J$ 箭頭 $d:K o L, c_L=D(d)circ c_K$ 。我們使用 $[C,c_J]$ 來表示這樣的一個椎體。
$D$ 上的一個極限椎（limit cone）是一個記為 $[lim_{leftarrow extsf{J}}D, lambda_J]$ 的椎，使得對於每一個 $D$ 上的錐 $[C,c_J]$ ，都存在唯一的中介箭頭 $u:C o lim_{leftarrow extsf{J}}D$ ，使得對於所有的 $extsf{J}$ 對象 $J$ ， $lambda_Jcirc u = c_J$ .

極限的保存（preserving limits）

定義92

函子 $F:mathscr{C o D}$ 保存 $D: extsf{J} o mathscr{C}$ 上的極限 $[L,lambda_J]$ 當且僅當 $[FL,Flambda_J]$ 是一個 $Fcirc D: extsf{J} omathscr{D}$ 上的極限。

更廣泛地，函子 $F:mathscr{C o D}$ 保存 $D: extsf{J} o mathscr{C}$ 上的極限 $[L,lambda_J]$ 的形狀 $extsf{J}$ 當且僅當對於任何範疇圖 $D: extsf{J} omathscr{C}$ ，如果 $[L,lambda_J]$ 是 $D$ 上的一個極限椎，那麼 $F$ 保存它。

在 $mathscr{C}$ 中，對於所有有限（小）範疇 $sf J$ 來說，能保存形狀為 $sf J$ 的極限的函子則在 $mathscr{C}$ 保存所有有限（小）極限。

定理92

如 $F$ 保存積，那麼 $F(A imes B)cong FA imes FB$ 。

定理93（愛屋及烏）

如果 $F:mathscr{C o D}$ 保存範疇圖 $D: extsf{J} o mathscr{C}$ 上的一個極限，那麼它也保存那個範疇圖上所有的極限。

可是，上述定理沒有告訴我們究竟哪些具體的積或者其他極限得到了保存。

取偏序集合 $({0,1,2},le)$ 和 $(mathbb{N},le)$ ，將其視為範疇。那麼存在一個平凡包含函子（inclusion functor） $I$ 。2 是第一個範疇里的終對象，但 $2=I(2)$ 並不是第二個範疇里的終對象。所以 $I$ 並不保存這個終對象。但 $I$ 保存積（偏序集合中兩個元素的積如果存在，就是它們的最大下界）。
遺忘函子F: $F:sf{Mon o Set}$ 保存空形狀的極限，保存終對象、二元積和等化子，所以它保存所有的有限極限（但不保存所有的余極限）。

定理94

如果 $mathscr{C}$ 是一個有限完全（finitely complete）的範疇，且函子 $F:mathscr{C o D}$ 保存終對象，二元積和等化子，那麼 $F$ 保存所有的有限極限。

定理95

保存拉回（pullback）的函子也保存單態；保存推出（pushout）的函子也保存滿態。

極限的反映（reflecting limits）

定義93

函子 $F:mathscr{C o D}$ 保存形狀為 $extsf{J}$ 的極限，當且僅當，對於範疇圖 $D: extsf{J} omathscr{C}$ 上的椎體 $[C,c_J]$ ，如果 $[FC, Fc_J]$ 是 $Fcirc D: extsf{J} o mathscr{D}$ 上的一個極限椎， $[C,c_J]$ 已經是 $D$ 上的一個極限椎。

余極限的反映也可以對偶地定義。

定理96

假設函子 $F:mathscr{C o D}$ 是全然忠實（fully faithful）的，那麼 $F$ 反映極限。

定理97

假設 $F:mathscr{C o D}$ 保存極限，那麼如果 $mathscr{C}$ 是完全的，且 $F$ 反映同構，則 $F$ 反映小極限。

遺忘函子 $F:sf Mon o Set$ 反映所有極限。
遺忘函子 $F:sf Top o Set$ 保存所有積蓄，但並不反映所有極限。

極限的創造（creating limits）

定義94

函子 $F:mathscr{C o D}$ 創造形狀如 $sf{J}$ 的極限，當且僅當對於任何一個範疇圖 $D: extsf{J} o mathscr{C}$ ，如果 $[M,m_J]$ 是 $Fcirc D$ 上的一個極限椎，那麼 $D$ 上有一個唯一的椎體 $[C,c_J]$ ，使得 $[FC, Fc_J] = [M,m_J]$ ，而且 $[C,c_J]$ 還是一個極限椎。