範疇論學習筆記6：等化子和余等化子

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學習材料：Category Theory: A Gentle Introduction - Logic Matters，最近更新（2018年1月29日）的版本。這份筆記對應的是第 9 章。

等化子/等同子（equalizers）

定義48（叉子，fork）

從 經過 到 的叉子包括箭頭 以及 ，使得 。

我們知道，積楔（product wedge），即作為範疇積的楔子 是普通楔子的特例。同樣地，從 出發，經過平行箭頭 的等化叉（equalizing fork）則是普通叉子的一個特例。

定義49（等化子，equalizer）

設 為範疇， 是該範疇里的一對平行箭頭。對象 和箭頭 構成一個 中箭頭 的等化子，當且僅當 ，且對於任何叉子 都存在唯一的箭頭 使得下面的範疇圖可交換：

我們也可以以終端對象的方式來定義等化子。

定義50（派生叉子範疇，derived fork category）

設 為範疇， 是該範疇里的一對平行箭頭，那麼派生的叉子範疇 以所有的叉子 為對象。從 到 的箭頭是使得對應的三角形可交換的 箭頭 （即使得 ）。 上的單位箭頭就是 中的 ，箭頭的複合依照相應箭頭在 中的複合來定義。

定義51

範疇 中 的的等化子是一個 ，使得 是 中的一個終端對象。

• 在 Set 中，設有平行箭頭 ，設 為使得 成立的集合，設 為簡單的包含映射（inclusion map）。則 為一個等化子。
• 在 Mon 中，設有平行箭頭 ，取 的子集 以使函數一致。 再加上到 的單射同態，就形成了 的一個等化子。
• 在 Top 中，一對連續映射 的等化子是什麼呢？取 的集合的子集，予其子空間拓撲。這個拓撲空間，加上到 的單射，就是我們想要的等化子。
• 我們可以用等化子來定義群同態里的核（kernel）。
• 當 中 ，那麼這兩個映射的等化子就是 。

上至同構的唯一性

定理41

如果對於 ，存在等化子 和 ，那麼存在唯一的同構 ，與等化箭頭可交換，即使得 。

定理42

如果 構成一個等化子，那麼 是一個單態（monomorphism）。

定理43

在任何範疇里，滿態（epic）等化子都是一個同構。

余等化子（Co-equalizers）

定義52（余叉，co-fork）

從 經過 到 的余叉包括平行箭頭 ,箭頭 ，使得 。

定義53（余等化子）

設 為範疇， 是該範疇里的一對平行箭頭。對象 和箭頭 構成一個 中箭頭 的余等化子，當且僅當 ，且對於任何余叉 都存在唯一的箭頭 使得下面的範疇圖可交換：

定理44

對於 Set 範疇中的函數 ，使 為包含 的最小等價關係（smallest equivalence relation），其中 。

設 為 ，即 的 等價類的集合；設 將 映射到包含 的 等價類。那麼 就是 的一個余等化子。

在很多範疇里，余等化子對應著自然產生的同餘構造。

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