範疇論學習筆記9：群對象和自然數對象

04-25

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學習材料：Category Theory: A Gentle Introduction - Logic Matters，最近更新（2018年1月29日）的版本。這份筆記對應的是第 14 章。

群

在 Set 範疇中，我們是否可以刻畫群呢？答案是肯定的。設 $G$ 為一個包含了群元素的對象，那麼我們需要三個相應的箭頭：

$m:G imes G o G$ ，群的二元運算
$e:1 o G$ ，單位元
$i:G o G$ ，逆運算（一元）

和上述三個箭頭對應的群公理在範疇論里應該怎麼表述呢？

首先， $m$ 應該滿足結合律。我們看下面的範疇圖（G1）：

只要確保上面的箭頭圖可交換，我們就可以滿足 $m$ 的結合律。例如取 $((j,k),l)in (G imes G) imes G$ ，從左上角往下、往右，可得 $m(m(j,k),l)$ ，若從左上角往右、往下、最後往左，我們可以得到 $m(j,m(k,l))$ 。如果要讓 $m(m(j,k),l)=m(j,m(k,l))$ ，只需確保上面的範疇圖是可交換的。

其次， $e$ 需要具備單位元的表現。

從 $G$ 到 $G imes G$ 的中介箭頭將元素 $gin G$ 變成對子 $(g,e)$ 。下面的範疇圖（G2）的相交性則確保了 $e$ 的左右可消除性：

最後，我們再看群的逆運算。下面的範疇圖（G3）的可交換性可以表示群的元素的可逆，以及一個元素及其逆元素的二元運算結果為單位元。

定義73（群對象，group-object）

設範疇 $mathscr{C}$ 有一個二元積和一個終對象，設 $G$ 為 $mathscr{C}$ 對象， $m:G imes G o G, e:1 o G;i:G o G$ 都是 $mathscr{C}$ 箭頭。那麼 $[G,m,e,i]$ 是一個群對象，當且僅當G1， G2，G3 可交換，其中 $e!=e circ !$ 。

定理73

在範疇 Set 中，群對象是一個群。

定理74

在範疇 Top 中，群對象是拓撲群；在範疇 Man 中，群對象是一個李群（Lie group）；在範疇 Grp 中，群對象是一個阿貝爾群（可交換群）。

自然數

定義74（序列對象，sequence object）

設 $mathscr{C}$ 是一個有終對象的範疇，如果 $X$ 是一個 $mathscr{C}$ 對象，那麼 $[X,i,f]$ 是 $mathscr{C}$ 中的一個序列對象， $i,f$ 是 $mathscr{C}$ 箭頭 $i:1 o X, f:X o X$ 。

在 Set 中， $i$ 挑出一個集合里的初始元素，而 $f$ 負責生成一個序列 $f(i),f^2(i),f^3(i),dots$

定義75（序列範疇）

如果 $mathscr{C}$ 是一個有終對象的範疇，那麼衍生的範疇 $mathscr{C}_{Seq}$ 以 $mathscr{C}$ 中的所有序列對象 $[X,i,f]$ 為對象，箭頭 $u:[X,i,f] o[Y,j,g]$ 是使得下面的 $mathscr{C}$ 範疇圖可交換的 $mathscr{C}$ 箭頭：

定義76（自然數對象）

如果 $mathscr{C}$ 是一個有終對象的範疇，那麼 $mathscr{C}$ 的一個自然數對象就是 $mathscr{C}_{Seq}$ 里的一個初箭頭。

可以記為 $[N,0,s]$ 。

讓我們回顧一下皮亞諾公設（the Peano postulates）：

0 是自然數
如果 $n$ 是自然數，那麼它的後繼 $s n$ 也是自然數
0 不是任何數的後繼
如果兩個自然數的後繼相同，那麼這兩個自然數也相同
對於自然數的任何性質 $P$ ，如果 0 擁有 $P$ ，且如果每當 $P n$ ，我們有 $P s n$ ，那麼 $forall n: mathbb{N}. P n$

定理75

如果 $mathscr{C}$ 是一個笛卡爾閉範疇，有自然數對象 $[N,0,s]$ ，那麼對於任何對象 $A,C$ ，箭頭 $g:A o C,h:C o C$ ，都存在唯一的 $f$ 使得下面的範疇圖可交換：

定理75的證明比較繁瑣。

下一節開始討論函子。

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