有趣的數學問題

04-26

作者：霍開拓

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來源：知乎

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1. 四色定理

四色定理又稱四色猜想、四色問題，是世界三大數學猜想之一。

四色定理是一個著名的數學定理，通俗的說法是：每個平面地圖都可以只用四種顏色來染色，而且沒有兩個鄰接的區域顏色相同。

1976年春季藉助電子計算機證明了四色問題，問題也終於成為定理，這是第一個藉助計算機證明的定理。四色定理的本質就是在平面或者球面無法構造五個或者五個以上兩兩相連的區域。

2. 芝諾悖論

阿基里斯追趕烏龜

烏龜在阿基里斯前方1000m處，假設阿基里斯的速度為10m/s，烏龜的速度是1m/s。

阿基里斯追烏龜跑1000米用100s，此時烏龜又跑了100米

阿基里斯繼續追烏龜跑10s，此時烏龜又跑了10米

阿基里斯繼續追烏龜跑1s，此時烏龜又跑了1米

阿基里斯繼續追烏龜跑0.1s，此時烏龜又跑了0.1米

阿基里斯繼續追烏龜跑0.01s，此時烏龜又跑了0.01米

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額額，額，，阿基里斯永遠追不上烏龜，不對呀

悖論解釋

當阿基里斯無限接近於烏龜之時，時間也停滯了。所以在有限的時間裡，阿基里斯永遠無法追上烏龜。從這個意義上講，阿基里斯悖論倒不是悖論了，只是有個隱含件沒有被大家所發現——有限時間內。

3. 希爾伯特旅館

某一個市鎮只有一家旅館，這個旅館與通常旅館沒有不同，只是房間數不是有限而是無窮多間，房間號碼為1，2，3，4，……我們不妨管它叫希爾伯特旅館。這個旅館的房間可排成一列的無窮集合(1，2，3，4，…)，稱為可數無窮集。

有一天開大會，所有房間都住滿了。後來來了一位客人，堅持要住房間。旅館老闆於是引用「旅館公理」說：「滿了就是滿了，非常對不起！」。正好這時候，聰明的旅館老闆的女兒來了，她看見客人和她爸爸都很著急，就說：「這好辦，請每位顧客都搬一下，從這間房搬到下一間」。於是1號房間的客人搬到2號房間，2號房間的客人搬到3號房間……依此類推。最後1號房間空出來，請這位遲到的客人住下了。

第二天，希爾伯特旅館又來了一個龐大的代表團要求住旅館，他們聲稱有可數無窮多位代表一定要住，這又把旅館經理難住了。老闆的女兒再一次來解圍，她說：「您讓1號房間客人搬到2號，2號房間客人搬到4號……，k號房間客人搬到2k號，這樣，1號，3號，5號，……房間就都空出來了，代表團的代表都能住下了。」

過一天，這個代表團每位代表又出新花招，他們想每個人占可數無窮多間房來安排他們的親戚朋友，這回不僅把老闆難住了，連女兒也被難住了。聰明的女兒想了很久，終於也想出了辦法。

希爾伯特旅館越來越繁榮，來多少客人都難不到聰明的老闆女兒。後來女兒進了大學數學系。有一天，康托爾教授來上課，他問：「假設無窮大旅店的房間按原始集合編號1,2,3,4，..., 現在有一大群客人出現了，他們都是N的冪集中的元素，你怎麼把客人都安頓下來？」她絞盡腦汁，還是失敗了。

4.哥尼斯堡七橋

1736年29歲的歐拉向聖彼得堡科學院遞交了《哥尼斯堡的七座橋》的論文，在解答問題的同時，開創了數學的一個新的分支——圖論與幾何拓撲，也由此展開了數學史上的新曆程。七橋問題提出後，很多人對此很感興趣，紛紛進行試驗，但在相當長的時間裡，始終未能解決。歐拉通過對七橋問題的研究，不僅圓滿地回答了哥尼斯堡居民提出的問題，而且得到並證明了更為廣泛的有關一筆畫的三條結論，人們通常稱之為「歐拉定理F」。

18世紀著名古典數學問題之一。在哥尼斯堡的一個公園裡，有七座橋將普雷格爾河中兩個島及島與河岸連接起來(如圖)。問是否可能從這四塊陸地中任一塊出發，恰好通過每座橋一次，再回到起點？歐拉於1736年研究並解決了此問題，他把問題歸結為如右圖的「一筆畫」問題，證明上述走法是不可能的。

有關圖論研究的熱點問題。18世紀初普魯士的哥尼斯堡，有一條河穿過，河上有兩個小島，有七座橋把兩個島與河岸聯繫起來。有個人提出一個問題：一個步行者怎樣才能不重複、不遺漏地一次走完七座橋，最後回到出發點。後來大數學家歐拉把它轉化成一個幾何問題——一筆畫問題。他不僅解決了此問題，且給出了連通圖可以一筆畫的充要條件是：奇點的數目不是0 個就是2 個（連到一點的數目如是奇數條，就稱為奇點，如果是偶數條就稱為偶點，要想一筆畫成，必須中間點均是偶點，也就是有來路必有另一條去路，奇點只可能在兩端，因此任何圖能一筆畫成，奇點要麼沒有要麼在兩端）

歐拉定理⒈凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點為起點，最後一定能以這個點為終點畫完此圖。⒉凡是只有兩個奇點的連通圖（其餘都為偶點），一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點為起點，另一個奇點為終點。⒊其他情況的圖都不能一筆畫出。(奇點數除以二便可算出此圖需幾筆畫成。)