格論學習筆記5：伯克霍夫對偶

04-26

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學習資料: ESSLLI 2017 -- Lattice Theory home page (John Harding)

在格論中，有很多組對偶（duality）概念：

伯克霍夫對偶（Birkhoff Duality）：有限分配格 $leftrightarrow$ 有限偏序集
斯通對偶（Stone Duality）：布爾代數 $leftrightarrow$ 一些拓撲空間
普利斯特利對偶（Priestley Duality）：分配格 $leftrightarrow$ 一些有序拓撲空間
艾薩吉亞對偶（Esakia Duality） ：海廷代數 $leftrightarrow$ 一些有序拓撲空間

我們只討論前兩種對偶。素理想是重要的理論工具。這次先討論伯克霍夫對偶。

美國數學家 Garrett Birkhoff，1911-1996

定義1：素理想（prime ideal）定義回顧

設 $D$ 為一個分配格， $Psubseteq D$ 為一個素理想，如果

$xle y$ 且 $yin PRightarrow x in P$
$x,yin PRightarrow x vee y in P$
$xwedge y in P Rightarrow xin P$ 或 $yin P$ 或 $x,yin P$

如果 $P=varnothing$ 或 $P=D$ ，則 $P$ 被稱為平凡素理想。

命題1

一個有限格 $L$ 的非空理想是主要理想 $downarrow a={x:xle a}$ ，其中 $ain L$ 。

定義2

設 $a$ 是格 $D$ 中的一個元素

$a$ 是一個交不可約元（meet irreducible），如果 $xwedge y = aRightarrow x=a 或 y = a$
$a$ 是一個交素元（meet prime），如果 $xwedge y le aRightarrow xle a 或 yle a$

命題2

在分配格中，下列陳述是等價的：

$a$ 是一個交不可約元
$a$ 是一個交素元
$downarrow a$ 是一個素理想

定義3

對於一個格 $D$ ，我們定義下列集合：

$M(D)={a:a 為交不可約元且 a eq 1}$
$J(D)={a:a 為並不可約元且 a eq 0}$

我們將這兩個集合都視為以 $D$ 的序排序的偏序集合：

命題3

存在互逆序同構 $M(D)xrightarrow{j} J(D);M(D)xleftarrow{m} J(D)$ 。

對象層面的伯克霍夫對偶

定義4

對於一個偏序集合 $P$ ，集合 $Ssubseteq P$ 被稱為下集合（downset），如果

$ale b 且 bin SRightarrow ain S$

我們用 $mathcal{D}(P)$ 來表示 $P$ 的所有下集合組成的偏序集，以集合的包含為序。

命題4

對於一個偏序集合 $P$ ，其下集合集合 $mathcal{D}(P)$ 是一個完備的完全分配格（complete, completely distributive lattice）。

定義5

設 $FDist$ 為有限分配格構成的類（class）； $FPos$ 為有限偏序集構成的類。那麼我們有映射

$FDist ightleftarrows^{J}_{mathcal{D}}FPos$

其中 $J(D)$ 表示有限分配格 $D$ 的並不可約元組成的偏序集； $mathcal{D}(P)$ 表示 $P$ 的下集合構成的分配格。

定理5

對於一個有限分配格 $D$ 和一個有限偏序集 $P$ ，存在同構 $varphi:D omathcal{D}(J(D))$ 和同構 $psi:P o J(mathcal{D}(P))$ ，其中

$varphi(x)={ain J(D):ale x}$
$psi (a)= downarrow a$

因此，有限分配格和有限偏序集之間存在著完全的照應關係。

$J(D)$ 有六個下集合： $varnothing, {a},{b},{a,b},{b,c},{a,b,c}$ ； $mathcal{D}(J(D))cong D$ 。

完整的伯克霍夫對偶

完整的伯克霍夫對偶需要藉助範疇論來表述。

定義6

我們定義如下範疇：

FDist：以有限分配格為對象，以有界格同構為箭頭
FPos ：以有限偏序集為對象，以序保存映射為箭頭

命題6

設 $f:D o E$ 為有限分配格之間的同構，且 $ain J(E)$ ，

$f^{-1}[uparrow a]$ 是 $D$ 的素濾子
存在最小元 $bin D$ 映射在 $a$ 上方，且 $bin J(D)$

這就給出了映射 $J(f):J(E) o J(D)$

命題7

設序保存映射 $h:P o Q$ 為有限偏序集合之間的映射，則存在一個分配格同構 $mathcal{D}(h):mathcal{D}(Q) o mathcal{D}(P)$ ，使得 $mathcal{D}(h)(A)=h^{-1}[A]$ 。

我們將映射 $FDist ightleftarrows^{J}_{mathcal{D}}FPos$ 做如下擴充（增加箭頭對應）：

如果在 FDist 中 $f:D o E$ ，那麼在 FPos 中 $J(f):J(E) o J(D)$ ；
如果在 FPos 中 $h:P o Q$ ，那麼在 FDist 中 $mathcal{D}(h):mathcal{D}(Q) omathcal{D}(P)$ 。

定理8

$J$ 和 $mathcal{D}$ 給出了一個範疇 FDist 和範疇 FPos 之間的對偶等價（dual equivalence），或稱對偶（duality）。

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