範疇論學習筆記18：可表函子和普遍元素

04-27

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學習材料：Category Theory: A Gentle Introduction - Logic Matters，最近更新（2018年1月29日）的版本。這份筆記對應的是第 26 章。

之前我們談到了 hom-函子 $mathscr{C}(A,-)$ ，它們可以保存所有 $mathscr{C}$ 中的（小）極限。我們猜想，同構函子應該保存相同的極限。所以我們想了解一下和 hom-函子同構的函子，因為它們也能夠保存極限。這些函子被稱作可表函子（representable functors）。

同構函子保存同樣的極限

定理134

設平行函子 $F,G:mathscr{C o D}$ 自然地同構，那麼如果 $F$ 保存一個極限， $G$ 也保存這個極限。

證明：

設 $[L,pi_J]$ 是 $D: extsf{J} o mathscr{C}$ 的一個極限椎。那麼對於 $sf J$ 中的 $f:J o K$ ，下面的圖在 $mathscr{C}$ 中都是可交換的：

函子 $F,G$ 將上圖投射到下圖的的兩個可交換三角形上，又由於自然同構 $alpha:Fcong> G$ ，所以我們可以得到三個自然性（naturality）正方形，構成了 $mathscr{D}$ 中三稜錐的三個側面。

考慮任意 $GD$ 上以 $C$ 為頂點的任意椎體 $[C,c_J]$ 。作為椎體的一部分，諸如下圖中的高三角形是可交換的：

再利用可交換的正方形底座，我們可以通過和 $alpha_{DJ}^{-1}$ 進行複合來延長錐腿 $c_J$ ，構成 $FD$ 上的椎體 $[C,alpha_{DJ}^{-1}circ c_J]$ 。

假設 $F$ 保存極限 $[L,pi_1]$ ，那麼 $[FL,F_{pi_J}]$ 必須是 $FD$ 上的一個極限椎。這就意味著新構造的椎體 $[C,alpha_{DJ}^{-1}circ c_J]$ 必須經由唯一的中介箭頭 $u:C o FL$ 因子通過（factor through）極限 $[FL,F_{pi_J}]$ 。

這又意味著 $[C,c_J]$ 經由一個唯一的 $v=alpha_Lcirc u$ 因子通過 $[GL,Gpi_J]$ 。所以 $[GL,Gpi_J]$ 也是一個極限椎。所以我們可以說 $G$ 同樣保存極限 $[L,pi_J]$ 。 $square$

可表函子（representable functors）

定義115

和 hom-函子 $mathscr{C}(A,-):mathscr{C} o sf Set$ 自然地同構的集合取值（set-valued）的函子 $F:mathscr{C} o sf Set$ 被稱為是可表示的（representable）。

同樣地，和 hom-函子 $mathscr{C}(-,A):mathscr{C} o sf Set$ 自然地同構的集合取值（set-valued）的逆變函子 $F:mathscr{C} o sf Set$ 也被稱為是可表示的（representable）。

定理135

同變可表函子 $F:mathscr{C} o extsf{Set}$ 保存 $mathscr{C}$ 中存在的所有的（小）極限。逆變可表函子保存余極限。

定義116

如果存在一個自然同構 $psi:mathscr{C}(A,-)cong> F$ ，那麼 $mathscr{C}$ 中的對象 $A$ 被稱為可表函子 $F$ 的一個表示（representation）。

定理136

如果函子 $F:mathscr{C} o extsf{Set}$ 可以被 $A$ 和 $B$ 表示，那麼 $Acong B$ 。

我們知道，hom-函子本身肯定是可表函子，那麼有哪些非平凡的可表函子呢？

定理137

遺忘函子 $F:sf Mon o Set$ 是可表的，可以被在一個生成子上的一個自由幺半群（the free monoid on one generator） $mathcal{N}$ 表示。

定理138

遺忘函子 $F:sf Grp o Set$ 是可表的，可以被加法下的整數群 $mathcal{Z}$ 表示。

遺忘函子 $F:sf Ab o Set$ 是可表的，可以被 $mathcal{Z}$ 表示。

遺忘函子 $F:sf Vect o Set$ 是可表的，可以被視為向量空間的實數 $mathcal{R}$ 表示。

遺忘函子 $F:sf Top o Set$ 是可表的，可以被一點拓撲空間（one-point topological space） $S_0$ 表示。

定理139

遺忘函子 $F:sf FinGrp o Set$ 是不可表的。

定理140

逆變冪集函子 $overline{P}$ 可以被集合 $2={0,1}$ 表示；同變冪集函子 $P$ 不可被表示。

普遍元素

函子 $F$ 可表示性的完整證據不但包括對象 $A$ ，還需要有自然同構 $psi:mathscr{C}(A,-)cong> F$ 。我們稱對子 $(A,psi)$ 是 $F$ 的完整表示（full representation）。

根據米田引理，我們可以得知 $FA$ 的成員和 $Nat(mathscr{C}(A,-),F)$ 的成員之間存在一個雙射 $mathcal{X}_{AF}$ 。對於 $ain FA$ ，我們又有自然變換 $alpha=mathcal{X}_{AF}(a):mathscr{C}(A,-) o F$ 。這個自然變換的 $Z$ 構件 $alpha_Z$ 又將映射 $g:A o Z$ 發送到 $Fg(a)$ 上。

定義117

函子 $F:mathscr{C} o extsf{Set}$ 的普遍元素（universal element）是對子 $(A,a)$ ，其中 $Ainmathscr{C},ain FA$ ，而且對於每一個 $Zinmathscr{C}, zin FZ$ ，都存在唯一的映射 $g:A o Z$ 使得 $Fg(a)=z$ 。

定理141

函子 $F:mathscr{C} o extsf{Set}$ 可以被 $A$ 表示，當且僅當存在一個普遍元素 $(A,a)$ 。

定理142

如果函子 $F:mathscr{C} o extsf{Set}$ 有完整的表示（full representation） $(A,alpha)$ ，那麼 $F$ 擁有普遍元素 $(A,alpha_A(1_A))$ 。

為什麼叫普遍元素呢？什麼是元素？

定義118

函子 $F:mathscr{C} o sf Set$ 的元素的範疇 $extsf{Elts}_mathscr{C}(F)$ 擁有下列數據：

對象是對子 $(A,a)$ ，其中 $Ainmathscr{C},ain FA$
從 $(A,a)$ 到 $(B,b)$ 的箭頭是 $mathscr{C}$ 箭頭 $f:A o B$ ，使得 $Ff(a)=b$
$(A,a)$ 上的恆等箭頭是 $1_A$
箭頭複合的定義參考 $mathscr{C}$ 箭頭的複合的定義。

定理143

對於特定的函子 $F:mathscr{C} o extsf{Set}$ ，範疇 $extsf{Elts}_mathscr{C}(F)$ 是（和……同構）逗號範疇 $(1downarrow F)$ ，其中 $1$ 是 $sf Set$ 里的終對象。

定理144

範疇 $extsf{Elts}_mathscr{C}(F)$ 里的對象 $I=(A,a)$ 是一個普遍元素，當且僅當對於每一個 $extsf{Elts}_mathscr{C}(F)$ 對象 $E$ ，都存在唯一的箭頭 $f:I o E$ ，所以 $I$ 是 $extsf{Elts}_mathscr{C}(F)$ 的初對象。