範疇論學習筆記7：極限和余極限

04-29

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學習材料：Category Theory: A Gentle Introduction - Logic Matters，最近更新（2018年1月29日）的版本。這份筆記對應的是第 10、11 章。

終對象、積、等化子都是極限的特例，都是通過泛映射性質定義的。它們也都有各自的對偶。

圖上的錐（cones over diagrams）

定義8

範疇 $mathscr{C}$ 一個範疇圖（diagram in a category）是表示圖中所表示的內容。

定義8（更新）

範疇 $mathscr{C}$ 一個（有標記，labelled）範疇圖（diagram in a category）是用指數集 $J$ 中的指數 $j$ 標記的的一些（或為零）對象 $D_j$ ，以及這些對象之間的一些（或為零） $mathscr{C}$ 箭頭。

定義54

使 $D$ 為範疇 $mathscr{C}$ 的範疇圖。那麼 $D$ 上的椎體（cone over $D$ ）包括一個 $mathscr{C}$ 對象 $C$ ，即椎的頂點（vertex, apex），以及 $mathscr{C}$ 箭頭 $c_j:C o D_j$ （椎腿，legs），使得每當 $D$ 中存在一個箭頭 $d:D_k o D_l$ ， $c_l = dcirc c_k$ ，即下面的範疇圖可交換（commutes）。

我們將這樣的椎體記為 $[C,c_j]$ 。

在有些定義里椎體不包括頂點，只包括錐腿。

定義55

範疇圖 $D$ 的（自反、傳遞）閉包是包括 $D$ 中所有對象和箭頭的最小圖，每個對象上都有一個單位箭頭，任何兩個可複合的箭頭的複合也被包括在該圖中。

定理45

範疇 $mathscr{C}$ 的圖 $D$ 的閉包是範疇 $mathscr{C}$ 的一個子範疇。

定理46

如果 $[C,c_j]$ 是 $D$ 上的一個椎體，那麼它也是 $D$ 的閉包上的一個椎體。

定義56（極限椎，limit cone）

範疇 $mathscr{C}$ 的圖 $D$ 的一個椎體 $[L,lambda_j]$ 是一個 $D$ 上的極限[椎]（limit cone），當且僅當任何 $D$ 上的椎體 $[C,c_j]$ 都唯一地因子通過（factor through）它。所以存在唯一的中介箭頭 $u:C o L$ 使得對於每一個指數 $j$ ， $lambda_jcirc u = c_j$ 。也就是說，對於每一個 $D$ 中的 $D_j$ ，相對應的其他頂點為 $C,L$ 的三角形是可交換的。

當圖中沒有對象也沒有箭頭時，錐就是對象 $C$ ，一個孤獨的頂點。這樣的塌陷的椎體之間的箭頭也不過是普通的對象間箭頭 $C o C$ 。如果任何其他對象到 $L$ 都有一個唯一的箭頭，那麼 $L$ 就是終端對象。
當圖中僅有兩個對象 $D_1, D_2$ ，它們之間仍然沒有盡頭。這樣的圖上的椎體就是一個到 $D_1,D_2$ 的楔子；極限錐就是 $D_1,D_2$ 的積。
當圖中僅有兩個對象，但它們之間存在平行箭頭，那麼它的椎（等化子）可以由叉子定義。

定理47

範疇圖 $D$ 上的一個極限椎上至一個唯一的和該錐的箭頭可交換的同構是唯一的。

極限椎作為終極對象

定義57

給定範疇 $mathscr{C}$ 的圖 $D$ ，派生的範疇 $mathscr{C}_{C(D)}$ ，即 $D$ 上椎體的範疇，有如下數據：

它的對象是 $D$ 上的椎體 $[C,c_j]$
從 $[C,c_j]$ 到 $[C,c_j]$ 是任意對於所有指數 $j$ 滿足 $c_jcirc f = c_j$ 的 $mathscr{C}$ 箭頭 $f:C o C$ 。換句話說，對於 $D$ 中的每一個 $D_j,D_k,D_l,dots$ ，加上頂點 $C,C$ 所對應的三角形是可交換的。

椎體 $[C,c_j]$ 上的單位箭頭是 $mathscr{C}$ 箭頭 $1_C$ 。 $mathscr{C}_{C(D)}$ 中箭頭的複合就是相應的 $mathscr{C}$ 箭頭的複合。

定義58

範疇 $mathscr{C}$ 的圖 $D$ 的極限椎是一個在 $mathscr{C}_{C(D)}$ 中作為終端對象的椎體。

關於極限的一些定理

定理48

假設 $[L,lambda_j]$ 是範疇 $mathscr{C}$ 的圖 $D$ 上的一個極限椎，且 $[L,lambda_j]$ 是通過一個同構 $f$ 因子經過 $[L,lambda_j]$ 的另一個椎體。那麼 $[L,lambda_j]$ 也是一個極限椎。

定理49

假設 $[L,lambda_j]$ 是範疇 $mathscr{C}$ 的圖 $D$ 上的一個極限椎，那麼以 $C$ 為頂點的極限椎 $D$ 和從 $C$ 到 $L$ 的 $mathscr{C}$ 箭頭一一對應。

定理50

範疇 $mathscr{C}$ 有一個初始對象當且僅當視為 $mathscr{C}$ 的範疇圖的 $mathscr{C}$ 有一個極限。

定義59

我們將範疇圖 $D$ 中對象 $D_j$ 的頂點上的極限對象記為 $lim_{leftarrow j} D_j$ 。極限椎則可以記為 $[lim_{leftarrow j} D_j, lambda_j]$ 。

余極限（colimits）

定義60

使 $D$ 為範疇 $mathscr{C}$ 的一個圖。那麼 $D$ 下面的余錐（a cocone under $D$ ）是一個 $mathscr{C}$ 對象 $C$ ，加上對於每一個 $D$ 中的對象 $D_j$ 都有一個箭頭 $c_j:D_j o C$ ，使得每當 $D$ 中存在一個箭頭 $d:D_k o D_l$ ，下面的範疇圖是可交換的：

$D$ 下面的余錐構成了一個以余錐 $[C,c_j]$ 為對象，視 $[C,c_j]$ 到 $[C,c_j]$ 的箭頭為任何使得 $c_j=fcirc c_j$ 的 $mathscr{C}$ 箭頭的余錐範疇。 $D$ 的余極限是這樣的余錐範疇里的一個初始對象。我們通常將余極限余錐的頂點上的對象記為 $lim_{ o j}D_j$ 。

我們之前討論過的初始對象，余積和余等化子都是余錐的特例。

拉回（Pullbacks）

範疇 $mathscr{C}$ 中的一個余楔或旮旯 $D$ 是一個可以表示如下：

角落上的椎體是一個可交換正方形（對角線可以根據定義推出，無需明確畫出來）：

這種椎體上的一個極限是一個以 $L=lim_{leftarrow j}D_j$ 為頂點的椎體，以及三個映射 $lambda_j:L o D$ ，使得對於任何 $D$ 上的椎體 $[C,c_j]$ ，都存在一個唯一的中介箭頭 $u:C o L$ 使得下面的範疇圖可交換。

定義61

旮旯圖的極限是一個拉回（pullback，或稱纖維積，fibered product/fiber product）。旮旯和極限組成的正方形，無論畫不畫出對角線，都被稱作拉回正方形（pullback square）。

在 Set 中，一對集合的交集是它們的拉回對象。對於同構是固定的。

在 Set 中，函數的逆像（inverse image）也是一個拉回對象。

拉回的名稱來源是：沿著 $f$ 把 $1_Z$ 拉回，得到的是 $f^{-1}[Z] o X$ 。

定理51

拉回一個單態，得到一個單態。

定理52

箭頭 $f:X o Y$ 是 $mathscr{C}$ 中的一個單態當且僅當下圖是一個拉回正方形：

定理53（拉回的切片範疇定義）

在範疇 $mathscr{C}$ 中，以 $Z$ 為頂點的旮旯的拉回是切片範疇 $mathscr{C/}Z$ 中的一個積。因此，我們也常用積的方式來表示拉回（小旮旯符號表示這的確是一個拉回正方形）：

定義62（推出，pushout）

楔子圖（wedge diagram）的極限是一個推出（又稱纖維余積，fibered coproduct）。

極限的存在（the existence of limits）

我們將看到，基礎極限的存在可以確保所有有限極限的存在。

定義63

如果範疇 $mathscr{C}$ 的任意一個有限圖 $D$ 有一個極限，那麼我們稱它有所有的有限極限（all finite limits）。一個範疇如果有所有的有限極限，那麼我們稱其為有限完全（finitely complete）。

定理54

如果 $mathscr{C}$ 有一個終對象，且擁有所有的二元積和等化子，那麼它是有限完全的。

定理55

如果 $mathscr{C}$ 有一個終對象，且對於每一個旮旯都有一個拉回，那麼它是有限完全的。

定理56

如果 $mathscr{C}$ 擁有所有的二元積和等化子，那麼它對於每一個旮旯都有一個拉回。

定理57

如果 $mathscr{C}$ 對於每一個旮旯都有一個拉回，那麼它擁有所有的二元積和等化子。

定理58

使 $D$ 為一個範疇 $mathscr{C}$ 中的有限圖，且有終對象、二元積和等化子。使 $[P,p_j]$ 為 $D$ 中的對象 $D_j$ 的積， $[Q,q_l]$ 為箭頭的目標對象 $D_l$ 的積。那麼存在兩個箭頭 $P ightrightarrows^{v}_{w}Q$ ，使得下面的兩個範疇圖對於每一個 $d:D_k o D_l$ 都是可交換的：